第03讲 三角函数与解三角形-2023年新高考数学新情景、新文化、新定义常考问题分类全归纳（新高考地区专用）

第03讲 三角函数与解三角形 一、单选题 1．（2022·浙江·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．1倍 B． C．倍 D．倍 【答案】A 【解析】由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得，， 又， 所以， 故第二次的“晷影长”是“表高”的1倍. 故选：A. 2．（2022·河南·高三阶段练习（文））由三角形的三边求出该三角形的面积，在古代很长一段时间都是个困难的问题.古希腊数学家海伦在他的著作《测地术》中证明了公式，其中，这个公式叫海伦公式.现有一个周长为24的等腰三角形，其最长边比最短边大6，则这个三角形的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【解析】设等腰三角形的底边为，当是最短边时，，由，得，所以，则. 当是最长边时，，由，得，所以， 因为，所以不能构成三角形. 故选：D 3．（2022·江西·高三阶段练习（理））“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为a寸的标杆与，与分别为标杆与在地面的影长，再按影长与的差结合“寸影千里”来推算A，B两地的距离．记，则按照“寸影千里”的原则，A，B两地的距离大约为（    ） A．里 B．里 C．里 D．里 【答案】C 【解析】由题意可知， 所以，所以可以估计A，B两地的距离大约为里， 故选：C． 4．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图甲，圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为40，如图乙，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶､教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（    ） A．50 B．