第13讲 平面向量十大题型总结-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第13讲 平面向量十大题型总结 【题型目录】 题型一：平面向量线性运算 题型二：平面向量共线问题 题型三：平面向量垂直问题 题型四：平面向量的夹角问题 题型五：平面向量数量积的计算 题型六：平面向量的模问题 题型七：平面向量的投影问题 题型八：万能建系法解决向量问题 题型九：平面向量中的最值范围问题 题型十：平面向量中多选题 【典型例题】 题型一：平面向量线性运算 【例1】在中，是边上的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】： 【例2】在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【例3】在中，点P为中点，点D在上，且，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵点P为中点，∴,∵，, ∴,∴=,故选：B. 【例4】在中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________． 【答案】 【解析】如下图所示： 为的中点，则， 为的中点，所以，， 因此，，即，. 故答案为：；. 【例5】如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加减法以及三角形中位线即可得到答案. 【详解】连接，，点为线段中点， 点为线段的中点， , 又， . 故选：B. 【题型专练】 1.设分别为的三边的中点，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选：A 2.设D为△ABC所在平面内的一点,若,则_____. 【答案】 【解析】如图所示： ，+3()，即有=﹣， 因为，所以λ=﹣，μ=，则=﹣3，故答案为：﹣3. 3.在中，，为上一点，若，则实数的值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，则， ， 由于为上一点，则，设，则， 所以，解得. 4.在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 是边上的高，， 在中，，解得，，， ，为中点， ，， ，，， . 5.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为边中点， ∴， ∵， ∴， 即. 6．设为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减、数乘运算即可求得. 【详解】∵，所以三点共线且.如图所示： ∴，即. 故选：A. 题型二：平面向量共线问题 【例1】已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据平面向量共线的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】解：因为，且， 所以，所以； 故选：A 【例2】与模长为13的向量平行的单位向量为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据平面向量的单位化，由单位向量的定义，可得答案. 【详解】与模长为13的向量平行的单位向量为, 故选：C. 【例3】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则________． 【答案】0 【分析】利用向量坐标线性运算可得，再由向量共线定理有且，列方程求参数m. 【详解】由，又A，B，D三点共线， 所以且，则，可得. 故答案为：0 【例4】设向量不平行，向量与平行，则实数= ___． 【答案】 【解析】因向量与平行，所以，所以，解得 【例5】在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图所示： ，即，， ，，，， ，、、三点共线，则. ， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B. 【题型专练】 1.已知非零向量，，，若，，且，则（ ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】：因非零向量，且，，所以与共线，所以，所以 2.已知向量的，，，若A，C，D三点共线，则m=______. 【答案】 【分析】由向量线性运算的坐标表示得，根据三点共线有且，即可求m值. 【详解】由，又A，C，D三点共线， 所以且，则，可得. 故答案为： 3.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】法一：，，因，，三点共线，所以与共线，所以，所以，解得 法二：由三点共线， 得，故解得． 4.设是两个不共线的向量，若向量（）与向量共线，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量（）与向量共线， 所以存在实数，使得， 所以有，因此，解得. 5.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ） A．1 B． C．2 D．