易错点11 平面向量-备战2023年高考数学考试易错题（全国通用）

易错点11 平面向量 易错点1：向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小称为向量的模(或大小)，记作||. (2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量. (3)单位向量：模等于1的向量称为单位向量. (4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行. (5)相等向量：大小相等、方向相同的向量. (6)相反向量：大小相等、方向相反的向量. 易错点2.向量的线性运算 向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反. (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 易错点3.共线向量定理 如果存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)，则b∥a. 易错点4.向量模的不等式 向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 易错点4.平面向量基本定理 (1)平面向量的基底 平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式. (2)平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb. 易错点5.平面向量的坐标 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y). 易错点6.平面向量的坐标运算 (1)平面向量线性运算的坐标表示 假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R). (2)向量模的坐标计算公式 如果向量a＝(x，y)，则|a|＝. (3)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 易错点7.向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2. 易错点8.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 1．在中，点D满足，E为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点A､B在单位圆上，，若，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 3．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知平面向量 ，若 与垂直，则λ＝（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 1．已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知向量，，若，则实数m等于（    ） A．－ B． C．－或 D．0 3．已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，则 A． B．2 C．5 D．50 一、单选题 1．已知四边形，设E为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知向量满足，则(    ) A．4 B．3 C．2 D．0 4．已知非零向量，，满足，，的夹角为，且，则向量，的数量积为（    ） A．0 B． C． D． 5．设向量，，满足，，与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D． 6．设非零向量满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量的