专题二十 数列求和

一题多变，发散思维 数列是高中数学的重要内容，又是高中数学与高等数学的重要衔接点，其涉及的基础知识、数学思想与方法，在高等数学的学习中起着重要作用，因而成为历年高考久考不衰的热点题型，在历年的高考中都占有重要地位.数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一.此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和的问题多以考查等差、等比数列的前n项和公式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点. 类型：公式法求和、画函数图像、新定义问题、根据定义域求参数取值、由单调性求参数取值等 【方法解读】 （1）公式法： 适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列利用公式法求和时，注意或两种情况． （2）错位相减法： 这是推导等比数列的前n项和公式时常用的方法，主要用于求数列的前n项和，其中，分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法： 把数列的各项分别裂开后，前后抵消从而计算和的方法，适用于求通项为的数列的前n项和，其中为等差数列，则. （4）分组求和法： 一个数列如果既不是等差数列又不是等比数列，但它可以拆成两个数列，而这两个数列是等差或等比数列，那么就可分组求和，这种方法叫分组求和法． 例题 母题：已知数列是公比为等比数列，且满足，，成等比数列 （变式1公式法求和） 1. 已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，求数列的前项和，并求其最值. 【答案】；最小值为6，无最大值 【分析】根据题意，得到是公差为2的等差数列，再根据，，成等比数列得到，计算，最后计算前项和与最值得到答案. 【详解】数列是公比为的等比数列，则，即， 即是公差为2的等差数列. ，，成等比数列，故，即，解得. 故. 故数列的前项和为. 易知数列是一个递增数列，有最小值为，无最大值. 2. 已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，为数列的前项和，且是和的等差中项，求数列的前项和. 【答案】 【分析】根据给定条件求出数列和的通项公式，再利用分组求和方法即可求出数列的前项和. 【详解】因数列是公比为的等比数列，则，即，则，于是得数列是公差为2的等差数列， 因，，成等比数列，即，则有，解得，于是得， 数列通项公式为：，， 又为数列的前项和，且是和的等差中项，则， 当时，，整理得：，而，即， 因此得，数列是公比为2，