专题一 函数性质及抽象函数

一题多变，发散思维 函数是高中数学的重中之重，而函数的性质是高考的重点、热点也是难点．抽象函数由于表现形式的抽象性使得这部分内容的难度更加增大．这部分题型多样，难度中等．常考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．现以2020年全国2卷的文科17题为母题，进行各类变式，并总结各类题型的解题方法． 例题1 母题：已知函数，且． 类型一：求值域、判定单调性、解不等式、由单调性求参量取值范围等 【方法解读】单调性是函数的一个重要性质，利用单调性可以解决值域（最值）、解不等式、求参数的取值范围等一系列的问题． （变式1求值域） 1. 已知函数，且，求的定义域和值域． 【答案】， 【分析】将代入解析式求出，再求定义域和值域即可 【详解】由，，则，定义域为，因为，所以值域为 （变式2判断单调性） 2. 已知函数，且，试判断函数在上的单调性，并用定义加以证明． 【答案】在上单调递减，证明见解析. 【分析】首先结合已知条件求出，进而得到的解析式，根据反比例函数的性质即可判断在上的单调性，然后利用单调性定义证明即可. 【详解】因为，且， 所以，即， 故， 函数在上单调递减， 证明：设，，且， ， 因为，， 所以，即， 所以在上单调递减. （变式3解不等式） 3. 已知函数，且，解不等式，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据给定条件求出m值，再确定函数的单调性，借助单调性解不等式即可得解. 【详解】因函数定义域为，而，则，解得， 则，函数在上单调递减，而，且， 因此，， 解得， 所以的取值范围是. （变式4由单调性求参量取值范围） 4. 已知，若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】. 【分析】通过反比例函数的性质，求出的单调减区间，然后结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以图像是由向右移动个单位，且向上移动1个单位得到的， 又因为的单调递减区间为和， 所以的单调递减区间为和， 由在上单调递减可知，， 故的取值范围为. 【题后反思】1．解不等式时有时需要把常数转化为某一变量的函数值． 2．求参量的取值范围常用的方法是变量分离． 类型二：由函数的奇偶性求函数解析式、作函数图像、求参量取值范围、解不等式等 奇偶性常见结论： (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3