专题五 圆的方程与性质（一）

专题五 圆的方程与性质 高考对直线和圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，圆的切线，弦长等问题；三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近年来多与圆锥曲线问题综合考查. 例题1 母题：在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上， 类型一：由直线与圆相切求参数、由直线与圆相切求切线长、由直线与圆相切求切线方程、切线最短问题、求圆上一点的切线方程等问题 【方法解读】判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 提醒：上述方法中最常用的是几何法． （变式1由直线与圆相切求参数） 1. 在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若直线与圆相切，求的值. 【答案】 【分析】先求出曲线与坐标轴的交点，根据题意求出圆心坐标和半径，即可写出圆的方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】曲线与轴的交点为， 令，解得， 即曲线与轴的交点为， 故可设圆的圆心为， 则有 解得， 则圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 因为直线与圆相切， 所以， 解得. （变式2由直线与圆相切求切线长） 2. 在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，求过点的切线方程，并求其切线长. 【答案】所求切线方程为或，切线长为. 【分析】先求出曲线与坐标轴的交点，根据题意求出圆心坐标和半径，即可写出圆的方程，设点，对切线方程的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径可求得切线的方程，利用勾股定理可求得切线长. 【详解】曲线与轴的交点为， 令，解得，， 即曲线与轴的交点为、， 故可设圆的圆心为，则有，解得， 则圆的圆心为，半径为，所以圆的方程为. 若过点的切线垂直于轴时，则所求切线的方程为， 此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意； 所以，过点的切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即， 由题意可得，解得. 综上所述，所求切线的方程为，即或. ，故切线长为. （变式3由直线与圆相切求