专题四 导数在函数中的应用

专题4 导数在函数中的应用 导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想．函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法．近年的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题．有关导数在函数中的应用主要类型有： 1、求函数的切线； 2、判断函数的单调性； 3、求函数的极值和最值； 4、利用函数的单调性证明不等式；这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是当下高考的重点． 例题1 母题：已知函数 类型一：求在某点处的切线方程、已知切线方程求参量取值、求过某点处的切线方程、根据相切求参数取值范围、求两直线上点点间的距离等问题 【方法解读】由导数的几何意义可知函数在处的导数即是函数在 处的切线的斜率，与切线有关的考题一般分为以下两类： ①过上的点的切线方程为 ②过外一点向其作切线，先设切点为，写出切线方程 ，又在切线上，代入得 （变式1求在某点处的切线方程） 1. 已知函数，当，时，求在横坐标处的切线方程. 【答案】 【分析】将，代入原函数，再求导，利用导数几何意义求解切线方程即可 【详解】当，时，，，，，故切线方程为，化简得，故在横坐标处的切线方程为 （变式2已知切线方程求参量取值） 2. 已知函数，若在横坐标处的切线方程为，求，的值. 【答案】或 【分析】由切线方程可得，函数过，再代入原函数，解关于导数和原函数的二元一次方程即可 【详解】由，由切线方程可得，即①，将代入得，故函数过，②，联立①②可得或 （变式3求过某点处的切线方程） 3. 已知函数，当，时，求曲线过原点的切线方程. 【答案】或. 【分析】设出切点坐标，根据切点利用导数的几何意义及直线方程的点斜式即可写出切线方程，把原点代入切线方程求出切点坐标，从而求出切线方程. 【详解】当，时，，令， 所以，设切点为，则， 所以切线方程为， 因为切线方程过原点，所以， 即，解得或， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为， 所以曲线过原点的切线方程为或. （变式4根据相切求参数取值范围） 4. 已知函数，当时，曲线存在垂直于轴的切线，求的取值范围. 【答案】. 【分析】曲线存在垂直于轴的切线等价于有根，用根的判别式求得的取值范围. 【详解】当时，，， ∵曲线存在垂直于轴的切线 ∴有根，