专题十三 对数函数

一题多变，发散思维 高考对对数函数的图象与性质考查题型一般是选择题或填空题，难度中等以下，主要考查对数运算、对数函数的性质及运用、对数函数的图象性质.关于对数函数的试题在命制时，主要有以下几种情况： 1.对数的概念：对数概念的判断，指数式与对数式的互化. 2.对数运算、换底公式. 3.对数函数概念及其判定. 4.对数函数的定义域、值域. 5.对数函数的图象：对数函数图象形状的判断，根据对数函数图象求参数，对数函数图象恒过定点问题，对数函数图象的应用问题. 6.对数函数的单调性：研究对数函数的单调性，对数型符合函数的单调性问题，由单调性求参数问题，比较大小，单调性的综合应用问题. 7.对数函数的最值：求最值，由最值问题求参数，最值与不等式问题. 8.对数函数的应用问题. 类型：根据对数函数的定义和性质求函数的值域、画函数图像、新定义问题、根据定义域求参数取值、由单调性求参数取值等 【方法解读】关于对数函数知识的考查我们要做到以下几点： 1、对数式的化简与求值 2、对数函数的图象 3、对数函数性质的应用 4、对数函数的复合函数问题 例题 母题：已知函数 （变式1求函数的值域） 1. 已知函数且，若时，求在区间的值域； 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性，分析即得解 【详解】由题意， 利用对数函数的性质，在区间单调递增 故当 当 故函数在区间的值域为 （变式2画函数图像） 2. 已知函数，作出的大致图像并写出它的单调性； 【答案】详见解析. 【分析】分和，先作出函数的图象，再得到的图象求解. 【详解】当时，函数的图象，如图所示： 则的图象，如图所示： 由图象知：在上递减，在上递增； 当时，函数的图象，如图所示： 则的图象，如图所示： 由图象知：在上递减，在上递增； （变式3新定义问题） 3. 已知函数，设，函数的定义域为[m，n] (m<n)，值域为[0，1]，定义“区间[m，n]的长度等于n－m”，若区间[m，n]长度的最小值为求实数a的值； 【答案】6 【分析】画出函数的图像，数形结合得知函数的可能定义域的情况，结合题意可解出的值. 【详解】画出函数的图像，如图所示， 结合图像可知，要使的值域是[0，1]， 其定义域可能是、、， 且， 因此结合题意可知， 所以. （变式4根据定义域求参数取值） 4. 已知函数，，若且的定义域为，求实数m的取值范围. 【答案