专题十九 数列的通项以及数列中的不等问题

一题多变，发散思维 数列的通项公式在数列中占有重要地位.是数列这部分内容的基础之一，在高考中，等差数列和等比数列的通项公式，前n项和公式以及它们的性质是必考内容.一般以填空题，选择题的形式出现，属于低中档题，若数例与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融.难度就较大，也是近几年命题的重点. 母题：为数列的前项和，且是和的等差中项， 类型：等差等比混合问题、已知和与项的关系求通项、数列中比较大小的问题、数列中求参数问题、数列中证明不等式的问题、数列中的恒成立问题等 【方法解读】 关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法”，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解.本专题举例说常见数列不等问题的求解方法. 【注意事项】 放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧： 1、裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项） 2、等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可. （变式1等差等比混合问题） 1. 已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】证明见详解， 【分析】根据等比数列通项公式求出，由，，成等比数列求得，即可求出通项公式，即可证明． 【详解】依题意得， 又因为，，成等比数列，所以 则，解得，所以， 当时，有 所以数列为等差数列，． （变式2已知和与项间的关系求通项） 2. 已知 为数列的前项和，且是和的等差中项，若数列为等比数列，求的值，并求的通项公式. 【答案】，． 【分析】由是和的等差中项，可得，项和转换可得，即，故为以为首项，2为公比的等比数列，可求得． 【详解】由于是和的等差中项，故 当时， 当时， 故为以为首项，2为公比的等比数列 所以 且 3. 为数列的前项和，且是和的等差中项，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】根据等