专题十八 平面向量

一题多变，发散思维 导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想.函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法.近年的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题.有关导数在函数中的应用主要类型有： 1、求函数的切线； 2、判断函数的单调性； 3、求函数的极值和最值； 4、利用函数的单调性证明不等式；这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是当下高考的重点. 例题 母题：已知平行四边形ABCD三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 类型一：求点的坐标、求参数的取值、线的长度问题、夹角问题、数量积问题、最值与范围等问题 【方法解读】由导数几何意义可知函数在处的导数即是函数在 处的切线的斜率，与切线有关的考题一般分为以下两类： ①过上的点的切线方程为 ②过外一点向其作切线，先设切点为，写出切线方程 ，又在切线上，代入得 （变式1求点的坐标） 1. 如图，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标． 【答案】 【分析】 设顶点D的坐标为，表示出的坐标，根据得到方程组，解得. 【详解】解：设顶点D的坐标为． ，，， ，， 又， 所以． 即解得 所以顶点D的坐标为． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量相等，属于基础题. 2. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 在x轴是否存在一点P，使得为直角三角形，求此时P点的坐标 【答案】存在，或或或 【分析】先利用求出点坐标，再分A为直角顶点，D为直角顶点，P为直角顶点三种情况求解. 【详解】设，，由得，解得， 假设存在，设，当A为直角顶点时，，有，解得； 当D为直角顶点时，，有，解得； 当P为直角顶点时，，有，解得； 故或或或. 3. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若将C点绕着O点逆时针旋转得到 点，求的坐标. 【答案】 【分析】将点C和 在坐标系中表示出来，利用旋转后的角度关系即可. 【详解】 依题意作上图，设OC与x轴的夹角为 ， ， 则有 ， ， ， ， 综上， 的坐标为 . （变式2求参数的取值） 4. 已知平行四边