专题三 解三角形（一）

一题多变，发散思维 【引言】以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识.题型多样，中档难度.常考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.现以2020年全国2卷的文科17题为母题，进行各类变式，并总结各类题型的解题方法. 母题：（2020·全国2卷文17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. 类型一：解三角形，求角，求边，求三角形面积，求三角形的周长等 【方法解读】1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角. 2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题，一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的. （变式1 求角）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.求A； 解析：因为，所以， 即，解得，又， 所以； （变式2 求边）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.若，证明：△ABC是直角三角形； 解析：因为，所以，即①， 又②， 将②代入①得，， 即，而，解得， 所以，故，即△ABC是直角三角形. （变式3 求边）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.若，，求，； 解析：， . ，解得. （变式4 求三角形的面积）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.若，，求△ABC的面积.； 解析：因为，所以， 由正弦定理得， 所以 ， 所以△ABC的面积为. 【题后反思】1.对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. 2.与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. （变式5 求三角形的周长）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长； 解析：∵，∴，∴bc＝4， 由已知及余弦定理得：12＝b2+c2﹣2bccosA， ∴， ∴， ∴△ABC的周长为. （变式6 求三角形的综合问题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.若△ABC的面积为5，b=5，求sinBsinC的值； 解析：由S＝bcsin A＝bc×＝bc＝5， 得bc＝