专题七 抛物线

专题7 抛物线 从近几年的考查情况来看，抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点，常以选择题和填空题的形式出现，直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现．本节主要考查考生的转化与化归思想的运用，提升考生数学运算、直观想象核心素养． 例题1 母题：已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，动圆圆心的轨迹方程为， 类型一：求抛物线标准方程、抛物线中通径问题、抛物线定义的应用、抛物线定义与三角函数相结合问题、抛物线定义与焦半径公式相结合问题、求直线的方程等问题 【方法解读】设为抛物线上任意一点，为焦点，则抛物线的焦半径公式为： 对于抛物线，； 对于抛物线，； 对于抛物线，； 对于抛物线，． （变式1求抛物线标准方程） 1. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，求动圆圆心的轨迹的方程. 【答案】 【分析】设圆心，过点作 轴，垂足为，利用垂径定理可得，又，利用两点间的距离公式即可得出； 【详解】解：如图设圆心，，圆与轴交于、两点，过点作轴，垂足为，则， ， ，化为； 即动圆圆心的轨迹的方程为 （变式2抛物线中通径问题） 2. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，动圆圆心的轨迹方程为，已知点，若为轨迹上的点，且，求点的坐标.（注意通径） 【答案】或 【分析】设圆心，过点作 轴，垂足为，利用垂径定理可得，又，利用两点间的距离公式即可得出动圆圆心的轨迹方程；即可求出抛物线的准线方程，再设，根据抛物线的定义得到，即可求出点坐标； 【详解】解：如图设圆心，，圆与轴交于、两点，过点作轴，垂足为，则， ， ，化为； 即动圆圆心的轨迹的方程为，则抛物线的准线为，设， 因为，，所以，所以，因为，所以，即或 （变式3抛物线定义的应用） 3. 已知动圆过定点，且在轴上截得的线段长为，动圆圆心的轨迹方程为，已知点，若为轨迹上的点，且到轴的距离为，求. 【答案】6 【分析】设圆心，线段的中点为，则，即，用坐标表示可得圆心的轨迹方程，利用抛物线的定义，转化为即得解 【详解】设圆心，线段的中点为，则 依题意，得： 为动圆圆心的轨迹方程 由题意，到轴的距离为，故 抛物线的准线方程为： 故 （变式4抛物线定义与三角函数相结合问题） 4. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，动圆圆心的轨迹方程为，已知点，点为轨迹上第一象限内的一点，作垂直于直线，交直线于，若的斜率为