专题六 椭圆

专题6椭圆 从近几年的考查情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考的命题热点，直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．本节主要考查考生的数学运算、直观想象核心素养及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用． 例题1 母题：已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点 ②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆 类型一：由点和椭圆的位置关系求参数的取值范围、由数量积求点的坐标、与面积有关的问题、斜率之积定值问题、求椭圆的切线方程问题、求两直线的斜率之积问题等问题 【方法解读】求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． （2）待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． （变式1由点和椭圆的位置关系求参数的取值范围） 1. 已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点 ②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆 （1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程； （2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若点在椭圆的内部，求的取值范围. 【答案】（1）选条件①：；选条件②：；（2）. 【分析】（1）选条件①：用待定系数法求出椭圆的标准方程； 选条件②：先根据椭圆的定义得到M的轨迹为以S、T为焦点的椭圆，然后求出椭圆的标准方程； （2）根据点在椭圆的内部，列不等式，即可求出的取值范围. 【详解】（1）选条件①：设，由题意可得： ，解得：， 所以椭圆的标准方程为：. 选条件②：如图示， 在△SCD中，因为,所以,所以. 因为SC=SD,所以MT=MD，所以, 所以M的轨迹为以S、T为焦点的椭圆，其中，所以， 所以椭圆的标准方程为：. 因为直线与轴不重合，所以不能落在x轴上， 所以椭圆的标准方程为：. （2）因为点在椭圆的内部， 所以，解得：， 即的取值范围为. （变式2由数量积求点的坐标）