4.2.2对数运算法则-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步知识梳理+常考题型（人教B版2019必修第二册）

4.2.2对数运算法则 题型1 对数运算 2 题型2 对数运算性质的化简求值 4 题型3 利用换底公式化简求值 9 题型4 利用对数运算法则解对数方程 12 题型5 对数的综合应用 17 知识点一.对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； 知识点二.换底公式 换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)； 【知识拓展】 (1)可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)对换底公式的理解： 换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 题型1 对数运算 【方法总结】 1. 对数的运算法则的证明: ⑴loga(MN)=logaM+logaN; ⑵ loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM.(其中a>0, a≠1, M>0, N>0, n∈R) 证明：⑴令M=am, N=an,则MN=am+n.由对数的定义知m=logaM, n=logaN, m+n=loga(MN), 所以loga(MN)=logaM+logaN. ⑵令M=am, N=an,则=am-n.由对数的定义知m=logaM, n=logaN, m-n=loga,所以loga=logaM-logaN. ⑶令M=am,则Mn=(am)n=amn.由对数的定义知m=logaM, mn=logaMn,所以logaMn=mn=nlogaM,即logaM=nlogaM. 2.上述几个运算性质的文字语言描述: 两正数积的对数,等于各数对数的和; 两正数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数; 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数. 3. 对数运算性质的理解 ⑴ 逆向运用对数的运算性质,可以将几个对数式化为一个对数式,有利于化简. ⑵对于每一条运算性质,都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时,等式才成立. 如log2[(-2)×(-3)]是存在的,但是log2(-2)与log2(-3)均不存在,故不能写成log2[(-2)×(-3)]=log2(-2)+log2(-3). 【例题1】设且，则下列说法正确的是（       ） A．，则 B．，则 C．，则D． 【答案】C 【详解】对于A