4.4 数学归纳法（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4 数学归纳法 （基础知识+基本题型） 知识点一 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）归纳奠基：证明当取第一个值时命题成立； （2）归纳递推：假设当时命题成立，证明当时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法，数学归纳法的框图表示如下： 归纳奠基 归纳递推 验证当时命题成立 若当时命题成立，证明当时命题也成立 命题对从开始的所有正整数都成立 提示 一般地，对于一些可以递推的与正整数有关的命题，都可以用数学归纳法来证明．其常见应用类型有：（1）证明恒等式；（2）证明不等式；（3）整除性的证明；（4）探求平面几何中的问题；（5）探求数列的通项． 知识点二 应用数学归纳法的注意事项 用数学归纳法证明的关键在于“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”．因此必须注意以下三点： （1）验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数，这个就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题． （2）递推乃关键 ①在证明第二步“当时命题成立”时，一定要用上归纳假设“当时命题成立”； ②在证明第二步时，首先要明确目标式，即确定证题方向，并且要搞清从到时项的变化． （3）正确寻求递推关系 ①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的． ②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察处在哪个位置． ③在书写时，一定要把包含的式子写出来，尤其是中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚． 警示 应用数学归纳法的易错点： （1）弄错起始点．不一定恒为1，也可能或（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设当时结论成立，利用此假设证明当时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 考点一 数学归纳法中的“起点”问题 例1 对一切，试比较与的大小． 解：当时，，即；当时，，即； 当时，，即；当时，，即； 当时，，即；当时，，即；…… 猜想：当时，． 下面用数学归纳法证明猜想成立． （1）当时，由上可知猜想成立． （2）假设当时，命题成立，即．那么当时， ， 即当时，猜想成立． 根据（1）和（2）可知，当时，都成立． 所以当或时，；当时，；当或时，． 本例是先用归纳推理设出猜想，再用数学归纳法证明猜想．在用数学归纳法证明时，要注意与的大小关系，只有在时才稳定下来，故起点．另外，在假设时要带上限制条件． 考点二 用数学归纳法证明恒等式 例2 已知，证明：． 分析：先验证当时结论成立，再假设当时等式成立，通过证明当时等式也成立，说明结论正确． 证明：（1）当时，左边，右边，等式成立． （2）假设当时，等式成立，即成立，那么，当时，有 ， 所以当时，等式也成立．根据（1）和（2）可知，对一切，等式都成立． 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，项的多少与的取值是否有关，由到时，等式两边会发生哪些变化． 考点三 用数学归纳法证明不等式 例3 当时，求证：． 分析：假设条件 利用 验证时的情况 假设时成立 时成立 证明：（1）当时，左边，右边，左边右边． （2）方法1：假设当时不等式成立，即，则当时，左边 右边，即当时，不等式也成立． 综上可知，对一切，且，不等式都成立． 方法2：假设当时不等式成立，即，则当时， 左边． 右边．要证明不等式成立，只需证明， 只需证明，只需证明，只需证明，只需证明，只需证明，由题设知显然成立．所以当时，不等式也成立． 综上可知，对一切，且，不等式都成立． 方法3：假设当时不等式成立，即，则当时， 左边．右边． 因为， 所以左边右边． 所以当时，不等式也成立． 综上可知，对一切，且，不等式都成立． 证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，除了综合法外，作差比较法、分析法、反证法以及放缩法也是常用的方法．用数学归纳法证明的第二步，即已知，求证，应注意灵活运用上述证明不等式的一般方法．对于较简单的命题，其基本格式为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $