4.4 数学归纳法（七大题型）-2023-2024学年高二数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

4．4 数学归纳法 【题型归纳目录】 题型一：对数学归纳法的理解 题型二：数学归纳法中的增项问题 题型三：证明恒等式 题型四：证明不等式 题型五：归纳—猜想—证明 题型六：用数学归纳法证明整除性问题 题型七：用数学归纳法证明几何问题 【知识点梳理】 知识点一、数学归纳法的原理 1、数学归纳法定义： 对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 知识点诠释： 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 2、数学归纳法的原理： 数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． 它的证明共分两步： ①证明了第一步，就获得了递推的基础． 但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； ②证明了第二步，就获得了递推的依据． 但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）． 例1．数学归纳法的功能和适用范围 （1）数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程． （2）数学归纳法一般被用于证明某些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明． 知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧 1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 2、用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 3、用数学归纳法证题的关键： 运用数学归纳法由到的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由到的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由到的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡． 知识点三、用数学归纳法证题的类型： 1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式； 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧． 3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题； 数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等． 4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式． 用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 5、用数学归纳法证明与数列有关的命题． 由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要． 【典型例题】 题型一：对数学归纳法的理解 例1．（2023·四川成都·高二校考阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明，“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（    ） A．假设时正确，再推证正确 B．假设时正