4.3.2 等比数列的前n项和公式（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.2 等比数列的前n项和公式 一、单选题 1．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．设数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．设Sn是等比数列{an}的前n项和，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．在正项数列中，首项，且是直线上的点，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 5．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．设数列前项和，且，，则（     ） A．数列是等差数列 B． C． D． 7．已知是数列的前项和，且，，则（    ） A．数列是等比数列 B．恒成立 C．恒成立 D．恒成立 8．“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线．连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得∠FMN=15°；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形ABCD的边长为，第2个正方形EFGH的边长为，…），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，…），则（    ） A．数列是公比为的等比数列 B． C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前n项和 三、填空题 9．已知数列的通项公式为，，设是数列的前n项和，若对任意都成立，则实数的取值范围是__________. 10．已知函数（k为常数，且）．下列条件中，能使数列为等比数列的是______（填序号）． ①数列是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列是首项为4，公差为2的等差数列； ③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列． 11．已知数列的前项和，则数列的前10项和为______． 四、解答题 12．已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 13．已知数列的前n项和为Sn，满足． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若不等式2对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围． 14．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）证明：，设的前项的和为，求证：. 参考答案： 1．D 【分析】根据从2021年6月1日起，将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，即求解. 【详解】设此人2020年6月1日存入银行的钱为元，2021年6月1日存入银行的钱为元，以此类推， 则2025年6月1日存入银行的钱为元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元． 由题意，得，，，……， ， 所以． 故选：D． 2．A 【分析】先利用求通项公式，判断出为等比数列，直接求和. 【详解】在中，令，得，所以． 由得，两式相减得， 即，又，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：A． 【点睛】(1)数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由Sn求an；④累加（乘）法；⑤由递推公式求通项公式； (2)数列求和常用方法： ①等差（比）公式法；②倒序相加法；③分组求和法；④裂项相消法；⑤错位相减法． 3．B 【分析】由题意，用基本量表示，化简可得，再表示，化简可得，代入即得解 【详解】设公比为q，∵，∴q≠1. 故选：B 4．B 【分析】由题意，代入点坐标进入直线方程可得，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，利用等比数列求和公式即得解 【详解】在正项数列中，，且是直线上的点， 可得，所以， 可得数列是首项为2，公比为2的等比数列， 则的前项和. 故选：B 5．C 【分析】先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出， 再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出. 【详解】解：由，，成等差数列， 得：， 设的公比为，则， 解得：或， 又单调递减， ， ， 解得：， 数列的通项公式为：， . 故选：C． 6．BCD 【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，可判断AB选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C选项的正误；利用裂项求和法可判断D选项的正误. 【详解】对任意的，.