4.1 数列的概念（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1 数列的概念 一、单选题 1．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（    ）． A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项 2．记数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．数列满足，若，，则=（    ） A． B． C．1 D．2 4．若数列的通项公式为，则关于此数列的图像叙述不正确的是（    ） A．此数列不能用图像表示 B．此数列的图像仅在第一象限 C．此数列的图像为直线 D．此数列的图像为直线上满足的一系列孤立的点 5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲. 1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的图像是一系列孤立的点 D．数列的项数是无限的 7．下列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 8．数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 三、填空题 9．已知数列的递推公式为，则___________. 10．已知数列满足，，则_______. 11．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第10个图有______个点． 四、解答题 12．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． (1)，，，； (2)，，，； (3)3，4，3，4； (4)6，66，666，6666． 13．已知数列满足． (1)写出数列的前3项； (2)求数列的通项公式． 14．已知数列的前项和是，且，求的通项公式． 参考答案： 1．D 【分析】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答. 【详解】因，因此符合题意的一个通项公式为， 由解得：， 所以是这个数列的第15项. 故选：D 2．A 【分析】由列方程组求值即可. 【详解】因为，解得. 又因为，解得. 故选：A. 3．C 【分析】根据递推公式计算即可得出答案. 【详解】解：因为，，， 则， ， ， ， ， ， . 故选：C. 4．D 【分析】数列的通项公式为，因为，所以数列就是直角坐标系的上的一个个点. 【详解】数列的通项公式为，它的图像就是直线 上满足的一系列孤立的点. 故选:D． 5．C 【分析】由题设且，应用不等式求的范围，即可确定项数. 【详解】由题设，且， 所以，可得且. 所以此数列的项数为. 故选：C 6．BC 【分析】根据数列的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是不同的数列，故错误； 对于B，由数列的定义可知正确； 对于C，由数列的，可知正确； 对于D，根据数列的项可以分为有穷数列和无穷数列，故错误. 故选:BC. 7．AC 【分析】根据递增数列的定义判断． 【详解】A．令，则，是递增数列，正确； B．令，则，，不合题意，错； C．令，则，符合题意．正确； D．令，则，，不合题意．错． 故选：AC． 8．B 【分析】根据题意，得到，，，，…，由此得到答案. 【详解】设数列1，3，6，10，15，…为，则，，，，…，n=1时，A、D不合题意；而中不包含， 由此可得数列满足. 故选：B． 9．54 【分析】根据递推公式逐一赋值即可求解. 【详解】由数列的递推公式得. 故答案为：54. 10．50 【分析】令，则是常数列，进而求出，故可求得，代入即可求得. 【详解】根据题意，令，得 因为，所以，又， 所以是首项为的常数列，故，即，故， 所以. 故答案为：50. 11．91 【分析】运用归纳推理得出结论. 【详解】图（1）只有1个点，无分支； 图（2）除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点； 图（3）除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点； 图（4）除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点…… 猜想第个图除中间1个点外，有个分支，每个分支有个点， 故第个图点的个数为， 故第10个图点的个数为． 故答案为：91. 12．(1)； (2)； (3) ； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）观察给定的4项，结合数据特征写出一个通项作答. （1） 4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为， 所以给定4项都满足的一个通项公式