专题05 圆锥曲线中的斜率问题-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题5 圆锥曲线中的斜率问题 一、考情分析 斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题. 二、解题秘籍 (一) 利用斜率求解三点共线问题 利用斜率判断或证明点共线,通常是利用. 【例1】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于,两点,且三角形的面积为. (1)求的值； (2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0,与交于两个不同的点,,关于轴的对称点为,为的右焦点,若,,三点共线,证明：直线经过轴上的一个定点. 【解析】（1）双曲线：的渐近线方程为, 不妨设, 因为三角形的面积为,所以, 所以,又,所以. （2）双曲线的方程为：,所以右焦点的坐标为, 若直线与轴交于点,故可设直线的方程为, 设,,则, 联立,得, 且, 化简得且, 所以,, 因为直线的斜率存在,所以直线的斜率也存在, 因为,,三点共线,所以, 即,即, 所以, 因为,所以, 所以, 所以, 化简得,所以经过轴上的定点. 【例2】（2022届北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆的左､右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线. （1）若椭圆W的左顶点A关于直线的对称点在直线上,求m的值； （2）过F的直线与椭圆W相交于不同的两点C,D（不与点A,B重合）,直线与直线相交于点M,求证：A,D,M三点共线. 【解析】（1）由题意知, 直线的斜率存在,且斜率为, 设点A关于直线对称的点为,则, 所以线段的中点在直线上,又,, 有,解得或, 所以； （2）已知, 当直线的斜率不存在时,：x=1,此时, 有,所以直线,当时,,所以, 所以,所以, 即A、D、M三点共线； 当直线的斜率存在时,设直线：, 则,得, , 设,则, 直线BC的方程为,令,得, 所以直线AD、AM的斜率分别为, , 上式的分子 , 所以,即A、D、M三点共线. 综上,A、D、M三点共线. (二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质 1.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点, 2. 设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点； 3. 设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点； 【例3】（2023届山西省山西大附属中学高三上学期诊断）若点P在直线上,证明直线关于对称,或证明直线平分,可证明. 已知椭圆：的左、右焦点分别为,,点是椭圆的一个顶点,是等腰直角三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点分别作直线,交椭圆于A,两点,设两直线,的斜率分别为,,且,证明：直线过定点． 【解析】（1）由题意点是椭圆的一个顶点,知, 因为是等腰直角三角形,所以,即, 所以椭圆的标准方程为：． （2）若直线的斜率存在,设其方程为,由题意知． 由,得, 由题意知,设,, 所以,, 因为,所以 , 所以,整理得, 故直线的方程为,即, 所以直线过定点． 若直线的斜率不存在,设其方程为,,． 由题意得,解得, 此时直线的方程为,显然过点． 综上,直线过定点． 【例4】（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研）已知点在双曲线上,直线l交C于 两点,直线 的斜率之和为. (1)求l的斜率; (2)若,求的面积. 【解析】（1）将点代入中,得,即, 解得 ,故双曲线方程为； 由题意知直线l的斜率存在,设,设,, 则联立直线与双曲线得：, 需满足, 故,, , 化简得：, 故, 即 ,即, 由题意可知直线l不过A点,即, 故l的斜率 （2）设直线AP的倾斜角为,由,, 得,（负值舍去）, 由直线 的斜率之和为,可知,即, 则,得,即, 联立,及得,, 将,代入中,得, 故,, 而,, 由,得, 故 . 【例5】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线的焦点为,其中为的准线上一点,是坐标原点,且. （1）求抛物线的方程； （2）过的动直线与交于两点,问：在轴上是否存在定点,使得轴平分若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由. 【解析】（1）抛物线的焦点为 设,则 因为, 所以,得. 所以抛物线的方程为; （2）假设在轴上存在定点,使得轴平分. 设动直线的方程为,点, 联立,可得 恒成立, 设直线的斜率分别为,则 由定点,使得轴平分,则, 所以.把根与系数的关系代入可得, 得. 故存在满足题意. 综上所述,在轴上存在定点,使得轴平分. (三) 根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质 1.若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合