2.5.2 椭圆的几何性质（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#2.5.2　椭圆的几何性质 学业标准 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点、难点) 2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(难点) [教材梳理] 导学 椭圆的几何性质 　已知椭圆的方程为＋＝1. (1)椭圆上的任意点M(x，y)的横坐标x的最大值和最小值是多少？ (2)点A，B，C， D都在椭圆上吗？ (3)椭圆与x轴，y轴的交点坐标是多少？ [提示]　(1)最大值是2，最小值是－2. (2)都在椭圆上． (3)与x轴的交点是(－2,0)和(2,0)；与y轴的交点是(0，－3)和(0,3)． ◎结论形成 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 范围 x∈[－a，a] y∈[－b，b] x∈[－b，b] y∈[－a，a] 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴|B1B2|＝2b，长轴|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0＜e＜1) [基础自测] 1．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析　不妨设a＞0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝. 答案　C 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　) A．(－1,0)(1,0) B.(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D.(0，－)，(0，) 解析　x2＋＝1的焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0，－)，(0，)． 答案　D 3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　c＝1，由e＝＝得a＝2， 由b2＝a2－c2得b2＝3.所以椭圆方程为＋＝1. 答案　D 4．椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝ . 解析　由题意得c＝1，当焦点在x轴上时，m－4＝1得m＝5，当焦点在y轴上时，4－m＝1，解得m＝3. 答案　3或5 题型一　利用椭圆的方程求几何性质 　(多选题)(2021·江苏省镇江第一中学高二月考)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，关于椭圆C下述正确的是(　　) A．椭圆C的长轴长为10 B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3) C．椭圆C的离心率等于 D．若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝ [解析]　由已知椭圆标准方程为＋＝1， 则a＝5，b＝4，∴c＝3. 长轴长为2a＝10，A正确；两焦点为(3,0)， (－3,0)，B错误；离心率为e＝＝，C正确； x＝3代入椭圆方程得16×32＋25y2＝400， 解得y＝±，∴＝，D正确． [答案]　ACD [规律方法] 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． [提醒]　长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而分别应是a，b，c的两倍． [触类旁通] 1．设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 解析　化mx2＋4y2＝4m(m＞0)为标准方程＋＝1. ①当0＜m＜4时，椭圆的焦点在x轴上，由e＝＝，解得m＝3，所以长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)． ②当m＞4时，椭圆的焦点在y轴上，由e＝＝，解得m＝，所以长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2， 顶点坐标为A1，A2， B1(－2,0)，B2(2,0)． 题型二　利用几何性质求椭圆的标准方程) 　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长2，离心率e＝； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. [解析]　(1)由2b＝2，e＝＝， 得b2＝5，＝，a2＝9. 当焦点在x轴上时， 所求椭圆的标准方程为＋＝1； 当焦点在y轴上时， 所求椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，