2.5.2 第2课时 椭圆几何性质的综合问题（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第2课时　椭圆几何性质的综合问题 [对应学生用书第77页] 探究一　与椭圆有关的最值与范围问题 [例1]　(1)(2022·潍坊高二期末)已知椭圆＋x2＝1(a＞1)的离心率e＝，P为椭圆上的一个动点，若定点B(－1，0)，则|PB|的最大值为(　　) A． B．2 C． D．3 [解析]　由题意可得：＝，据此可得：a2＝5，椭圆方程为＋x2＝1． 设椭圆上点的坐标为P(x，y)， 则y2＝5(1－x2)， 故|PB|＝＝＝， 当x＝时，|PB|max＝． [答案]　C (2)(2022·临沂高二月考)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，椭圆上的动点P的坐标为(xp，yp)，且∠F1PF2为锐角，则yp的取值范围是(　　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ [解析]　椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)， 由∠F1PF2为锐角时，则·＝x－5＋y＞0， 又由点P在椭圆＋＝1上，可得＋＝1， 即x＝9，代入可得9－5＋y＞0， 整理得y＜，即－＜yp＜， 又由当yp＝0时，此时∠F1PF2＝0°(不符合题意，舍去)， 所以yp的取值范围是∪． [答案]　A 求解椭圆的最值问题的两种基本方法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性法等． 1．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　设P点坐标为(x0，y0)，则＋＝1，kPA2＝，k PA1＝， 于是k PA1·kPA2＝＝＝－， 故k PA1＝－·． ∵kPA2∈[－2，－1]，∴k PA1∈．故选B． 答案　B 探究二　和椭圆上的点与直线的距离有关的问题 [例2]　已知椭圆＋＝1，直线l：4x－5y＋40＝0．求椭圆上的点到直线l的最小距离． [解]　 如图，由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交．设直线m平行于直线l且与椭圆相切，则直线m的方程可以设成4x－5y＋k＝0． ① 由方程组消去y， 得25x2＋8kx＋k2－225＝0． ② 令方程②的根的判别式Δ＝0， 得64k2－4×25(k2－225)＝0． ③ 解方程③得k1＝25或k2＝－25． 由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的切点到直线l的距离最近， 此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0． 直线m与直线l间的距离d＝＝， 即为切点到直线l的距离． 所以所求最小距离是． 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为平行线间的距离问题，即已知直线与和它平行且与椭圆相切的直线间的距离．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，利用直线与椭圆相切⇔Δ＝0解决问题． 2．在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：＋＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为________． 解析　设直线x－y＋m＝0与椭圆＋＝1相切， 联立消去y，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0， ∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝0， 解得m＝5或－5． ∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y±5＝0， 其中与直线x－y－5＝0距离较远的是x－y＋5＝0，且距离为d＝＝＝5， ∴P到直线x－y－5＝0的最大距离为5． 答案　5 探究三　椭圆的实际应用问题 [例3]　某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是A，B两岛．曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3．你能否确定鱼群此时分别与A，B两岛的距离？ [解]　以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系． 设椭圆方程为：＋＝1(a＞b＞0)且c＝． 因为距焦点A的正西20海里处是椭圆的左顶点， 所以a－c＝20，又|AB|＝2c＝40，则c＝20，a＝40，故b＝20． 所以鱼群的运动轨迹方程是＋＝1． 由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3， 因此设此时距A，B两岛的距离分别为5k，3k， 由椭圆的定义可知5k＋3k＝2×40＝80⇒k＝10， 即鱼群分别距A，B两岛的距离为50海里和30海里