2.5.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第1课时　椭圆的简单几何性质 [学习任务] 1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义． 2．会用椭圆的几何意义解决相关问题． [对应学生用书第74页] 知识点　椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：(0，0) 范围 x∈[－a，a]， y∈[－b，b] x∈[－b，b]， y∈[－a，a] 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长 长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b 离心率 e＝，e∈(0，1) 当e越趋近于1时，椭圆越扁 当e越趋近于0时，椭圆越接近于圆 [对应学生用书第74页] 探究一　椭圆的简单几何性质 [例1]　(1)(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，关于椭圆C下述正确的是(　　) A．椭圆C的长轴长为10 B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0，3) C．椭圆C的离心率等于 D．若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝ [解析]　由已知设椭圆标准方程为＋＝1，则a＝5，b＝4，∴c＝3．长轴长为2a＝10，A正确；两焦点为(3，0)，(－3，0)，B错误；离心率为e＝＝，C正确； x＝3代入椭圆方程得16×32＋25y2＝400，解得y＝±，∴|PQ|＝，D正确． [答案]　ACD (2)(多选)如图所示，用一束与平面α成60°角的平行光线照射半径为的球O，在平面α上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的(　　) A．长轴长为3 B．离心率为 C．焦距为2 D．面积为3π [解析]　由题意知：OB⊥AB，OB＝，∠BAO＝60°， ∴OA＝＝＝2， ∴椭圆C长轴长2a＝2OA＝4，A错误； ∵椭圆C的短轴长为球O的直径，即2b＝2，∴b＝， ∴c＝＝＝1， ∴椭圆C的焦距为2c＝2，C正确； ∴椭圆C的离心率e＝＝，B正确； 由图可知：椭圆C的面积大于球O大圆的面积， ∵球O大圆的面积S＝3π， ∴椭圆C的面积大于3π，D错误． [答案]　BC 研究椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质． 1．已知点A(m，n)在椭圆＋＝1上，则m2＋n2的最大值是(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析　由题意可得＋＝1，则m2＝4－2n2，故m2＋n2＝4－n2．因为－≤n≤，所以0≤n2≤2，所以2≤4－n2≤4，即2≤m2＋n2≤4．因此，m2＋n2的最大值为4． 答案　B 2．(多选)嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是(　　) A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3 976公里 C．两焦点坐标约为(±150，0) D．离心率约为 解析　设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c．依题意可得月球半径约为×3 476＝1 738，a－c＝100＋1 738＝1 838，a＋c＝400＋1 738＝2 138， 2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988，c＝2 138－1 988＝150， 椭圆的离心率约为e＝＝＝，可得结论A、B、D项正确，因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误． 答案　ABD 探究二　根据椭圆的几何性质求椭圆的方程 [例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； (2)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(1，0)，点B是椭圆C的上顶点，且直线FB的斜率为－，求椭圆C的方程． [解]　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)． 由已知得2a＝10，a＝5．又∵e＝＝， ∴c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9， ∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1． (2)∵椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(1，0)，点B是椭圆C的上顶点， ∴B(0，b)，c＝1．∵直线FB的斜率为－， ∴＝－，解得b＝，∴a＝＝2， ∴椭圆C的方程为＋＝1． (1)利用椭圆的几何性