2.4 曲线与方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#　曲线与方程 学业标准 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系． 2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点) 3.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤．(重点) 4.掌握求轨迹方程的几种常用方法．(难点) 5.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质. [教材梳理] 导学1 曲线的方程与方程的曲线 　(1)如图所示，设l1，l2是平面内两条互相垂直的直线，且M是到l1，l2的距离相等的点组成的集合．如果以l1，l2分别为坐标轴建立平面直角坐标系，那么M中的点的坐标有什么特点？ (2)设点A(2,0)，B(0,2)，则线段AB的方程是x＋y－2＝0吗？ [提示]　(1)设M(x，y)，则|y|＝|x|. (2)不是，因为方程x＋y－2＝0表示一条直线而不是线段． ◎结论形成 1．方程|y|＝|x|的所有解表示的点的集合为M；第一、三象限和第二、四象限的角平分线构成的曲线，一般地，这一曲线称为方程|y|＝|x|的曲线，方程|y|＝|x|称为这一曲线的方程． 2．曲线和方程的定义 一般在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解； (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程． 3．两条曲线的交点坐标 曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0的交点坐标为方程组的实数解. 导学2 求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质 　设P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，则P点到x轴，y轴的距离分别是多少？ [提示]　|y|；|x|. ◎结论形成 1．已知l1，l2是平面内两条互相垂直的直线，且曲线C是到l1，l2的距离的乘积等于1的点组成的集合，以l1与l2分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，则P到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，因此P(x，y)在曲线C上的充要条件是|y||x|＝1. 2．求动点M轨迹方程的一般步骤 (1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)； (2)写出M满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； (3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程． [基础自测] 1．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线(　　) A．关于x轴对称　　　 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D.关于直线x－y＝0对称 解析　将(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C. 答案　C 2．下列各组方程中表示相同曲线的是(　　) A．x2＋y＝0与xy＝0 B.＝0与x2－y2＝0 C．y＝lg x2与y＝2lg x D．x－y＝0与y＝lg 10x 答案　D 3．如图所示，图形的方程与图中曲线对应正确是(　　) 答案　D 4．平面上有三点A(－2，y)，B，C(x，y)，若A⊥B，则动点C的轨迹方程为 ． 解析　A＝，B＝， 由A⊥B得2x－＝0，即y2＝8x(x≠0)． 答案　y2＝8x(x≠0) 题型一　曲线与方程的概念 　分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系． [解析]　(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程． (2)与两坐标轴的距离的积等于5 的点的坐标不一定满足方程xy＝5；而以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5. (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0. [规律方法] 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程. [触类旁通] 1．(1)方程－1＝表示的曲线是(　　) A．一条直线　　　　　　 B．两条直线 C．一个圆 D.两个半圆 解析　由题意，首先|x|＞1，平方整理得(|x|－1)2＋(y－1)2＝1， 若x＞1，