2.3.1 圆的标准方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#2.3.1　圆的标准方程 学业标准 1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点) 2.能根据所给条件求圆的标准方程．(难点) 3.掌握点与圆的位置关系．(重点) 4.圆的标准方程的应用．(难点) [教材梳理] 导学1 圆的标准方程 　(1)圆的定义是什么？ (2)确定一个圆的要素有几个？ [提示]　(1)平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆． (2)圆心和半径． ◎结论形成 圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，r(r＞0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 导学2 点与圆的位置关系 　平面内任意一点M(x，y)到圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2圆心C(a，b)的距离如何求，怎样判断点M与圆C的位置关系？ [提示]　|MC|＝， 当|MC|＞r时，点M在圆C外； 当|MC|＝r时，点M在圆C上； 当|MC|＜r时，点M在圆C内． ◎结论形成 ⊙C的圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)，则点M1(x1，y1)在⊙C外的充要条件是(x1－a)2＋(y1－b)2＞r2；点M2(x2，y2)在⊙C内的充要条件是(x2－a)2＋(y2－b)2＜r2. [基础自测] 1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)(　　) A．是圆心　　　　　　　　 B．在圆上 C．在圆内 D.在圆外 解析　圆心M(2,3)，半径r＝2， ∵|PM|＝＝＜r， ∴点P在圆内． 答案　C 2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　) A．在圆外 B.在圆内 C．在圆上 D.不确定 解析　圆心为(0,0)，半径r＝4，P到圆心的距离d＝＞4，所以P在圆外． 答案　A 3．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　) A．(－2,3)，1 B.(2，－3)，3 C．(－2,3)， D.(2，－3)， 解析　由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为. 答案　D 4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的标准方程是 ． 解析　圆心是(－2,0)，半径是2， 所以圆的标准方程是(x＋2)2＋y2＝4. 答案　(x＋2)2＋y2＝4 题型一　求圆的标准方程 　(1)①已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为 ； ②与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为 ． (2)求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程． [解析]　(1)①设圆心C的坐标为(a,0)(a＞0)， 由题意知＝，解得a＝2， 则圆C的半径为r＝|CM|＝＝3. ∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9. ②∵圆心坐标为(－5，－3)， 又与y轴相切，∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则 解得 所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. [答案]　(1)①(x－2)2＋y2＝9 ②(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 (2)(x－2)2＋(y－1)2＝10 [规律方法] 1．用直接法求圆的标准方程的策略 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程． (2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点是圆心”等． 2．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 [触类旁通] 1．求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在原点，半径为3. (2)圆心在点(－2,1)，半径为. (3)经过点P(5,1)，圆心在点(8，－3)． (4)经过点A(－1,3)，B(4,2)且圆心在x轴上． 解析　(1)因为圆心(0,0)，半径为3， 所以圆的方程为x2＋y2＝9. (2)因为圆心(－2,1)，半径r＝， 所以圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5. (3)因为圆的半径r＝＝5. 又圆心为(8，－3)， 所以圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25. (4)由于圆心在x轴上，故可设圆心坐标为(a,0)，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，因为圆经过A，B两点，可得　　解得a＝1，r2＝13. 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13. 题型二　点与圆的位置关系 　(多选题)(1)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值可以是(　　) A．－