2.5.1 椭圆的标准方程（教师用书）-【创新思维】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案（人教B版2019）

2．5　椭圆及其方程 2．5.1　椭圆的标准方程 [学习目标]　1.了解椭圆标准方程的推导.2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程． 授课提示：对应学生用书第77页 预习教材，思考问题 问题1　取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 问题2　观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 　 [自主练习] 1．下列说法中，正确的是(　　) A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆 答案：C 2．以下方程表示椭圆的是(　　) A.＋＝1　　　　　 B．2x2－3y2＝2 C．－2x2－3y2＝－1 D.＋＝0 解析：A中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程． 答案：C 3．已知两焦点坐标分别为(2,0)和(－2,0)，且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：C 4．若椭圆方程为＋＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________． 答案：x　(－2,0)，(2,0) 授课提示：对应学生用书第78页 　求椭圆的标准方程 1．椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 说明：(1)F1，F2是两个不同的定点． (2)M是椭圆上任意一点，且|MF1|＋|MF2|＝常数． (3)通常这个常数记为2a，焦距记为2c且2a>2c. (4)如果2a＝2c，则M的轨迹是线段F1F2. (5)如果2a<2c，则点M的轨迹不存在．(由三角形的性质知) 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 [例1]　根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． [解析]　(1)法一：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 因为2a＝＋＝10，所以a＝5.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 因为椭圆过点(5,0)， 所以＝1，即a2＝25. 又因为c＝4及b2＝a2－c2＝25－16＝9， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 所以解得 故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. 反思感悟　求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”． 当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a＞b＞0这一条件． (3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程． [跟踪训练1]　根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)经过两点A(0,2)，B； (2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点． 解析：(1)设所求椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)． ∵椭圆过点A(0,2)，B， ∴ 解得 即所求