2.2.3 两条直线的位置关系（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#2.2.3　两条直线的位置关系 学业标准 1.掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2.掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别．(重点、难点) 3.灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系．(难点) [教材梳理] 导学1 两条直线的相交、平行与重合 　(1)直线l1：2x＋3y－6＝0与直线l2：3x＋2y＋6＝0的位置关系是怎样的？ (2)直线l1与直线l2的倾斜角分别是α1，α2，若l1∥l2，则α1与α2满足什么关系？ [提示]　(1)由　得 所以直线l1与直线l2相交． (2)α1＝α2. ◎结论形成 1．利用直线的斜截式方程判断直线的位置关系 若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1与l2相交⇔k1≠k2； l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2. 2．利用直线的一般式方程判断两直线的位置关系 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 v1＝(A1，B1)，v2＝(A2，B2)分别是直线l1，l2的法向量 (1)l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1； (2)l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1； (3)直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是C1≠C2；重合的充要条件是C1＝C2. 导学2 两条直线垂直 　直线l1的倾斜角30°，直线l1与直线l2垂直，则直线l2的倾斜角是多少？斜率是多少？ [提示]　120°；－. ◎结论形成 1．两条直线垂直的充要条件是它们的法向量相互垂直． 2．若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 3．设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. [基础自测] 1．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　) A．－3　　　　　　　　 B．3 C．－ D. 解析　因为k＝kAB＝＝3，所以l的斜率为3. 答案　B 2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B.重合 C．相交但不垂直 D.垂直 解析　设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，故l1与l2垂直． 答案　D 3．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝ . 解析　∵l1∥l2，且k2＝＝－1， ∴k1＝＝－1， ∴m＝0 答案　0 4．经过点P(－2，－1)，Q(3，a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直．则a＝ . 解析　由题意知＝－1，所以a＝－6. 答案　－6 题型一　两直线平行的判定及应用 角度1　判断两直线的位置关系 　判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＝6，l2：4x＋2y＝3； (2)l1：2x－3y＋1＝0，l2：y＝2x＋7. [解析]　(1)将l1与l2的方程分别化为斜截式可知．l1：y＝－2x＋6，l2：y＝－2x＋， 因此，l1与l2的斜率相等，但截距不相等， 所以它们平行． (2)解方程组可得x＝－5，y＝－3， 因此l1与l2相交，而且交点坐标为(－5，－3)． 角度2　已知两直线的位置关系求参数的取值范围 　已知直线l1：(m＋2)x＋(m＋3)y－5＝0和l2：6x＋(2m－1)y－5＝0，问实数m为何值时，分别有： (1)l1与l2相交？ (2)l1∥l2? (3)l1与l2重合？ [解析]　(1)∵直线l1：(m＋2)x＋(m＋3)y－5＝0和l2：6x＋(2m－1)y－5＝0，l1与l2相交， ∴≠，解得m≠－且m≠4. (2)∵直线l1：(m＋2)x＋(m＋3)y－5＝0和l2：6x＋(2m－1)y－5＝0，l1与l2平行， ∴＝≠，解得m＝－. (3)∵直线l1：(m＋2)x＋(m＋3)y－5＝0和l2：6x＋(2m－1)y－5＝0， l1与l2重合，∴＝＝，解得m＝4. [规律方法] 1．判断两条直线是否平行的步骤 2．由两直线平行、相交和重合求直线方程的参数时，关键是构造参数的方程，同时一定要利用充要条件，保证所求参数正确． [触类旁通] 1．已知直线方程l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0，则l1与l2的关系(　　) A．平行　　　　　　　 B．重合 C．相交 D.以上答案都不对 解析　∵直线l1方程：2x－4y＋7＝0， ∴直线l1的斜率k1＝