2.2.1 直线的倾斜角与斜率（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#2.2.1　直线的倾斜角与斜率 学业标准 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点) 2.理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系．(重点) 3.掌握过两点的直线的斜率公式．(重点、难点) 4.直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用．(难点) [教材梳理] 导学1 直线的倾斜角和斜率 　在平面直角坐标系中，直线l经过点P. (1)直线l的位置能够确定吗？ (2)过点P可以作与l相交的直线有多少条？ (3)上述问题中的所有直线有什么区别？ [提示]　(1)不能．(2)无数条．(3)倾斜程度不同． ◎结论形成 1．直线的倾斜角 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°. (2)性质：一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则： ①当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°； ②当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°； ③当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝. 2．直线的斜率 (1)定义：如果直线l的倾斜角为θ，且θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率； 当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (2)A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，k＝. 当x1＝x2时，直线l的斜率不存在. 导学2 直线的方向向量 　如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，若v是直线l的一个方向向量，则v满足什么条件？ [提示]　表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合． ◎结论形成 1．定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作　a∥l　. 2．直线l的方向向量的性质 (1)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量 λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线； (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则是直线l的一个方向向量． 3．直线的方向向量与直线的斜率的关系 一般地，如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则： (1)当u＝0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)当u≠0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝， 因此可知倾斜角满足tan θ＝. 导学3 直线的法向量 　α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，如果n是平面α的一个法向量，则n满足什么条件？ [提示]　n⊥α. ◎结论形成 1．定义 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l. 2．直线的方向向量与法向量互相垂直． [基础自测] 1．如图所示，直线l的倾斜角为(　　) A．30°　　　　　　　 B．60° C．120° D.以上都不对 解析　根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°. 答案　C 2．直线l过点M(－，)，N(－，)，则l的斜率为(　　) A. B.1 C. D. 解析　根据题意，l的斜率为＝1. 答案　B 3．已知直线方程2x－y＋c＝0的一个方向向量d可以是(　　) A．(2，－1) B.(2,1) C．(－1,2) D.(1,2) 解析　依题意，(2，－1)为直线的一个法向量， ∴方向向量为(1,2)，故选D. 答案　D 4．若直线l的一个法向量n＝(3,3)，则直线l的一个方向向量可以为(　　) A．(1，－1) B.(－1，－1) C．(1,1) D.(0,1) 解析　设直线的方向向量m＝(1，k)， ∵直线l的一个法向量为n＝(3,3)， ∴m·n＝0，∴k＝－1， 故选A. 答案　A 题型一　直线的倾斜角 　(多选题)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45°　　　　　　　 B．α－135° C．135°－α D.α－45° [解析]　根据题意，画出图形，如图所示． 因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，故选A，B. [答案]　AB [规律方法] 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方