2.2.1 第1课时 直线的倾斜角和斜率（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第1课时　直线的倾斜角和斜率 [学习任务] 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． [对应学生用书第40页] 知识点一　直线的倾斜角 定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角． 1．倾斜角θ的取值范围是0°～180°． 2．直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°． 3．每一条直线都有唯一的倾斜角． 知识点二　直线的斜率 1．定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率不存在． 2．两点的斜率公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率 为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在；当y1＝y2时，直线l的斜率为0． [对应学生用书第41页] 探究一　直线的倾斜角 [例1]　(1)若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围(　　) A． B．[0，π) C． D． [解析]　直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角为钝角，即直线l的倾斜角的范围为． [答案]　D (2)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． [解析]　有两种情况：①如图甲，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°． ②如图乙，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°． [答案]　60°或120° (1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答． (2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． 1．已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为(　　) A．25°≤θ＜155° B．－25°≤θ＜155° C．0°≤θ＜180° D．25°≤θ＜205° 解析　因为直线l的倾斜角为θ－25°，所以0°≤θ－25°＜180°，所以25°≤θ＜205°． 答案　D 2．如图所示，直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B，l1，l2与x轴分别交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________． 解析　因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°， 所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°． 答案　30° 探究二　直线的斜率 [例2]　(1)已知直线l的斜率为2，且过点A(－1，－2)，B(3，m)，则m的值为(　　) A．10 B．6 C．2 D．0 [解析]　由斜率公式得kAB＝＝＝2，解得m＝6，故选B． [答案]　B (2)过点P(0，－1)的直线l与以A(3，2)，B(2，－3)为端点的线段AB有交点，求直线l的斜率与倾斜角的取值范围． [解]　由题意知，直线l的斜率存在，设直线l：kx－y－1＝0，且kPA＝＝1，kPB＝＝－1， 由直线l与以A(3，2)，B(2，－3)为端点的线段AB有交点，则－1≤k≤1， 设直线l的倾斜角为α， 则α∈[0，π)，tan α＝k，则－1≤tan α≤1， 所以0≤α≤或≤α＜π，即α∈∪． (1)由两点坐标求斜率的问题，通常运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (2)涉及直线与线段有交点的问题，常数形结合，利用公式求解． 3．已知点A(－1，0)，B在直线l上，则直线l的倾斜角大小为(　　) A． B． C． D． 解析　设直线l的倾斜角为θ，直线l的斜率k＝＝－，则tan θ＝－，由θ∈[0，π)，则θ＝． 答案　D 4．直线l过点M(－1，2)，且与以P(－4，－1)，Q(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为(　　) A． B．[－2，1] C．(－∞，－2]∪[1，＋∞) D．∪[1，＋∞) 解析　如图所示： 因为kPM＝＝1，kQM＝＝－，所以直线l与以P(－4，－1)，Q(3，0)为端点的线段相交，只需：k≥1或k≤－，故选D． 答案　D 探究三　直线的倾斜角和斜率的综合应用 [例3]　(1)在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B，C(－1，2)三点共线，则a的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．2 [解析]　点A(1，0)，B，C(－1，2)三点共线， 则＝，解得a＝，故选C． [答案]　C (2)设直线l的斜率为k，且－1≤k＜，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．∪ B．∪ C． D．∪ [解析]　由题意，直线l的倾斜角为α，则α∈[0，π)