第二章 2.2.2 第2课时 直线的两点式方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学直线的两点式方程与截距式方程，通过点斜式推导两点式，将截距式作为两点式特殊情况展开，以问题引导、知识梳理、注意点解析及例题训练为支架，构建从已知到未知的知识脉络。 以斜拉桥情境导入，培养数学眼光观察现实世界，通过问题驱动推导公式，渗透分类讨论思想，如截距式中截距为0或不为0的讨论，提升数学思维与表达能力。课中辅助教师引导探究，课后习题助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　直线的两点式方程 [学习目标]　1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.2.会利用直线的两点式和截距式求直线方程． 导语 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线．怎样表示直线的方程呢？ 一、直线的两点式方程 问题1　我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程．若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　由点斜式方程，得y－y1＝(x－x1)，即＝(x1≠x2，y1≠y2)． 知识梳理 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它称为直线的两点式方程，简称两点式． 注意点：(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 例1　在△ABC中，已知点A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)． (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程； (3)求BC边上中线的方程． 解　(1)BC边过点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝， 即y＝－x－2， 故BC边的方程是y＝－x－2(0≤x≤5)． (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M.又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以＝，即y＝－x－， 所以BC边上的中线所在直线的方程是 y＝－x－. (3)y＝－x－. 反思感悟　利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 跟踪训练1　(1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为____________． 答案　y＝－x－ 解析　因为直线过点(－2,1)和(3，－3)， 所以＝，即＝， 化简得y＝－x－. (2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程． 解　由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线的斜率不可能为零，但有可能不存在． (1)当直线的斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； (2)当直线的斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即y＝－. 综上可得，当m＝1时，直线的方程为x＝1； 当m≠1时，直线的方程为y＝－. 二、直线的截距式方程 问题2　若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　由两点式方程得＝，即＋＝1(a≠0，b≠0)． 知识梳理 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点：(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 例2　求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1， 即y＝x＋1. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点A(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x. 综上，直线l的方程为y＝x＋1或y＝x. 延伸探究　若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解　(1)当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1， 又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为y＝－x＋7. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝， 所以直线l的方程为y＝x. 综上，直线l的方程为y＝－x＋7或y＝x. 反思感悟　求直线的截距式方程的注意点 (1)若直线的截距相等，则直线过原点或者斜率为－1；若直线的截距互为相反数，则直线过原点或者斜率为1. (2)下列三种情况下，不能用截距式表示直线： ①k不存在； ②k＝0； ③直线过原点． 故用截距式求直线方程时，横截距和纵截距都必须存在且都不为零，当截距情况不确定时，要考虑截距为零的情况． (3)在利用截距式求方程时，有时需分类讨论，尤其在涉及截距相等或截距是倍数的关系时，要分直线过原点和不过原点两种情况进行讨论． 跟踪训练2　(1)已知直线＋＝－1在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则a，b的值分别为(　　) A.， B．－，－ C.，7 D．－，－7 答案　D 解析　＋＝－1可化为＋＝1， 所以直线在x，y轴上的截距分别为－，－7， 故a＝－，b＝－7. (2)已知线段BC的中点为D.若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，则BC所在直线的截距式方程为________________． 答案　＋＝1或＋＝1 解析　依题意知，直线BC在坐标轴上的截距存在，且都不为0， 故设BC所在直线的方程为＋＝1， 代入点有＋＝1， 整理得2a2－21a＋54＝0，解得a＝6或a＝. 当a＝6时，BC所在直线的方程为＋＝1， 当a＝时，BC所在直线的方程为＋＝1， 所以BC所在直线的截距式方程为＋＝1或＋＝1. 三、截距式方程的应用 例3　直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．是否存在这样的直线同时满足下列条件？ (1)△AOB的面积为6； (2)△AOB的周长为12. 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 解　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 因为直线l过点P， 所以＋＝1.① 又ab＝12，② 联立①②，解得或 当a＝4，b＝3时，|OA|＝4，|OB|＝3，|AB|＝5， C△AOB＝12，符合条件(2)； 当a＝2，b＝6时，|OA|＝2，|OB|＝6， |AB|＝2， C△AOB＝8＋2，不符合条件(2)． 所以存在这样的直线同时满足(1)(2)， 且直线方程为＋＝1. 反思感悟　直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b|. 跟踪训练3　已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8)． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 解　(1)因为直线l的两点式方程为＝， 所以＝，即＝x－1. 所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8. 所以＋＝1.故所求截距式方程为＋＝1. (2)如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB，且OA⊥OB，|OA|＝4，|OB|＝8， 故S△AOB＝|OA|·|OB|＝×4×8＝16. 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 1.知识清单： (1)直线的两点式方程． (2)直线的截距式方程． 2．方法归纳：公式法、待定系数法、分类讨论． 3．常见误区：当直线过原点时，直线在坐标轴上的截距都为0,0与0既相等、相反，也是倍数关系． 1．在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 答案　A 2．过(1,2)，(5,3)的直线方程是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案　B 解析　∵所求直线过点(1,2)，(5,3)， ∴所求直线方程是＝. 3．直线＋＝1过第一、三、四象限，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 答案　B 4．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________． 答案　y＝2x或y＝x＋1 解析　当直线过原点时，得直线方程为y＝2x； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为－＝1， 将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1， 得直线方程为y＝x＋1. ∴直线方程为y＝2x或y＝x＋1. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为(　　) A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1 C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案　A 解析　代入两点式得直线方程为＝， 整理得y＝x＋3. 2．直线－＋＝－1在x轴、y轴上的截距分别为(　　) A．2,3 B．－2,3 C．－2，－3 D．2，－3 答案　D 解析　直线方程可化为＋＝1， 因此，直线在x轴、y轴上的截距分别为2，－3. 3．若直线l过点(－1，－1)和 (2,5)，且点(1 011，b)在直线l上，则b的值为(　　) A．2 024 B．2 023 C．2 022 D．2 021 答案　B 解析　直线l的两点式方程为＝， 即＝，即y＝2x＋1，代入点(1 011，b)， 得b＝2×1 011＋1＝2 023. 4．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　) A．y＝－2x＋8 B．y＝2x＋8 C．y＝－2x－12 D．y＝2x－12 答案　A 解析　由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即y＝－2x＋8. 5．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程都可以写成＝ B．直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线斜率为－1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 答案　ABD 解析　当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成＝，故A错误；当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B错误；设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误． 6．(多选)已知直线l：y＝－ax＋2＋a在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－2 D．2 答案　AC 解析　∵直线l在x，y轴上的截距相等， ∴－a≠0，∴a≠0， 令x＝0，得y＝2＋a， 令y＝0，得x＝， ∴＝a＋2， 解得a＝－2或a＝1. 7．(5分)过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________． 答案　y＝－3x＋6 解析　由题意知直线过点(2,0)， 又直线过点(1,3)，由两点式可得＝， 整理得y＝－3x＋6. 8．(5分)若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为________________________________________________________________________． 答案　y＝－x＋2或y＝－x＋1 解析　设直线l在y轴上的截距为a(a≠0且a≠－1)，则在x轴上的截距为a＋1，则l的方程为＋＝1，将点A(6，－2)代入得－＝1，即a2－3a＋2＝0，解得a＝2或a＝1， ∴直线l的方程为y＝－x＋2或y＝－x＋1. 9．(10分)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)． (1)求边AC和AB所在直线的方程；(5分) (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程．(5分) 解　(1)由截距式，得边AC所在直线的方程为 ＋＝1，即y＝x＋4. 由两点式，得边AB所在直线的方程为＝，即y＝－x＋4. (2)由题意，得点D的坐标为(－4,2)， 由两点式，得边BD所在直线的方程为＝，即y＝2x＋10. 10．(10分)已知△ABC的顶点A(5，－2)，B(7,3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上． (1)求顶点C的坐标；(5分) (2)求直线MN的方程．(5分) 解　(1)设M(0，m)，N(n,0)， 则 所以xC＝0－5＝－5，yC＝0－3＝－3， 所以点C的坐标为(－5，－3)． (2)因为2m＝yC＋yA＝－3＋(－2)＝－5， 故m＝－. 因为2n＝xC＋xB＝－5＋7＝2，故n＝1. 所以直线MN的方程为＋＝1， 即y＝x－. 11．直线l过点(1,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为(　　) A．y＝2x B．y＝－2x＋4 C．y＝2x或y＝－2x＋4 D．y＝2x或y＝2x－2 答案　C 解析　(1)当直线l过原点时，kl＝＝2， 故直线l的方程为y＝2x. (2)当直线l不过原点时，设直线l的方程为＋＝1(a≠0)， 代入点(1,2)得＋＝1，解得a＝2. 故直线l的方程为＋＝1， 即y＝－2x＋4. 12．直线－＝1与－＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 答案　B 解析　易知直线－＝1的斜率为，直线－＝1的斜率为，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足． 13．过点P(1,3)作直线l，若l经过点A(a,0)和B(0，b)，且a，b均为正整数，则这样的直线l可以作出(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 答案　B 解析　∵a，b均为正整数， ∴可设直线l：＋＝1， 将P(1,3)代入直线方程得＋＝1， 当b＝3时，＝0，方程无解，∴b≠3， ∴a＝＝＝1＋， ∵a∈N＋，≠0， ∴∈N＋，∴b－3＝1或b－3＝3， ∴或即满足题意的直线l有2条． 14．(5分)已知直线l过点(－1,2)，经过第一象限且在两个坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为__________． 答案　y＝－x＋1 解析　因为直线l过点(－1,2)，经过第一象限且在两个坐标轴上的截距相等， 所以直线l不过原点，设直线l的方程为＋＝1， 所以＋＝1，解得a＝1， 所以直线l的方程为＋＝1即y＝－x＋1. 15．(5分)若直线l过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有________条． 答案　3 解析　依题意直线l在坐标轴上的截距均不为0，设直线l的截距式方程为＋＝1， ∵直线l经过点(1,1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2， ∴解得 或 或 ∴直线l的条数为3. 16．(13分)已知直线l：＋＝1. (1)若直线l的斜率为2，求实数m的值；(5分) (2)若直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．(8分) 解　(1)由直线l的方程可知，直线l过点(m,0)，(0，4－m)， ∴kl＝＝＝2， 解得m＝－4. (2)方法一　依题意解得0<m<4， 又A(m,0)，B(0,4－m)， ∴S△AOB＝|m|·|4－m|＝m·(4－m) ＝(－m2＋4m) ＝－(m－2)2＋2， ∴当m＝2时，(S△AOB)最大＝2， 此时直线l的方程为＋＝1， 即y＝－x＋2. 方法二　S△AOB＝m·(4－m)≤2＝2，当且仅当m＝4－m，即m＝2时，S△AOB最大为2，此时直线l的方程为＋＝1，即y＝－x＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $