2.1 坐标法（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#　坐标法 学业标准 1.掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式．(重点) 2.了解两点的距离公式及中点公式的推导方法．(重点) 3.体会坐标法在几何中的作用．(难点) 4.坐标法在证明几何问题中的应用．(难点) [教材梳理] 导学1 平面直角坐标系中的基本公式 　如图所示，数轴上点A对应的数为x1，(即A的坐标为x1，记作A(x1))，点B对应的数为x2. (1)向量的坐标为 ． (2)A，B两点的距离|AB|＝ . [提示]　(1)x2－x1；(2)||＝|x2－x1|. ◎结论形成 两点间距离公式及中点公式 1．已知在平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝||＝. 2．已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，则有x＝，y＝. 导学2 坐标法 　(1)如何建立平面直角坐标系？ (2)建立不同的直角坐标系，影响最终结果吗？ [提示]　(1)①要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；②如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；③考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点，将图形的对称轴作为坐标轴． (2)不影响． ◎结论形成 坐标法：通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法． [基础自测] 1．(多选题)已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．4　　　　　 B．3　　　　　 C．－2　　　　　 D．5 解析　＝5，解得a＝－2或4.故选A，C. 答案　AC 2．已知A(－8，－3)，B(5，－3)，则线段AB的中点坐标为(　　) A. B. C. D. 解析　由中点坐标公式直接求得． 答案　B 3．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形为 ． 解析　由题意|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝，显然△ABC为等腰三角形． 答案　等腰三角形 4．若x轴上的点M到原点与到点(5，－3)的距离相等，则点M的坐标为 ． 解析　设点M的坐标为(x,0)， 由题意知|x|＝， 即x2＝(x－5)2＋9，解得x＝3.4， 故所求点M的坐标为(3.4,0)． 答案　(3.4,0) 题型一　两点间的距离公式的应用一题多变 　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a，0)，B(a,0)，C(0，a)．求证：△ABC是等边三角形． [证明]　由两点间的距离公式得 |AB|＝＝2|a|， |BC|＝＝2|a|， |CA|＝＝2|a|. ∴|AB|＝|BC|＝|CA|， 故△ABC是等边三角形． [母题变式] 例1若改为：已知A(－1，－1)，B(3,5)，C(5,3)，试判断△ABC的形状． 解析　|AB|＝ ＝＝＝2， |AC|＝＝ ＝＝2， |BC|＝＝＝＝2. 所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且显然三边长不满足勾股定理，所以△ABC为等腰三角形． [规律方法] 根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的. [触类旁通] 1．(2021·琼山期末)已知△ABC的顶点坐标分别为A(7,8)，B(10,4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为(　　) A．8　　　　　　　　　　 B．13 C．2 D. 解析　由B(10,4)，C(2，－4)， 得xM＝＝6，yM＝＝0. 即M的坐标为(6,0)， 又A(7,8)， ∴|AM|＝＝.故选D. 答案　D 题型二　中点坐标公式的应用 　已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线交点为E(－3,4)，求另外两顶点C，D的坐标． [解析]　设C点坐标为(x1，y1)， 则由E为AC的中点得 　得 设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点得 　得 故C点坐标为(－10,6)，D点坐标为(－11,1)． [规律方法] (1)本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质，依据中点坐标公式列方程组求点的坐标的． (2)中点坐标公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点坐标公式列方程或方程组求解． [触类旁通] 2．(1)已知点M(1，－1)，N(2,5)，则线段MN的中点坐标为(　　) A．(3,4) B. C．(1,6) D. 解析　由点M(1，－1)，N(2,5)，则线段MN的中点坐标为，即. 答案　B (2)点A(－