16第二章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 学业标准 1．在直线与圆锥曲线有两个公共点的前提下，会求弦长和中点问题． 2．综合利用直线与圆锥曲线的位置关系，解决范围与最值，定点与定值问题． [教材梳理] 导学　直线与圆锥曲线的综合问题 　请你用多种方法解决下面问题： 斜率为的直线经过抛物线x2＝8y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长． [提示]　解法一　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则对于抛物线x2＝8y，焦点弦长|AB|＝p＋y1＋y2＝4＋y1＋y2. 因为抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，且直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝x＋2，代入抛物线方程x2＝8y，消去x整理得y2－6y＋4＝0，从而y1＋y2＝6，所以|AB|＝10. 故线段AB的长为10. 解法二　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意得抛物线的焦点为(0,2)，故直线AB的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0， 由消去y得x2－4x－16＝0， 则x1＋x2＝4，x1x2＝－16，代入弦长公式|AB|＝得|AB|＝10. 解法三　由题意知线段AB为抛物线的焦点弦，已知直线AB的斜率为，p＝4，代入焦点弦的斜率式|AB|＝2p(1＋k2)(由于抛物线的焦点在y轴上，因此将抛物线y2＝2px对应的焦点弦的斜率式|AB|＝2p中的变为k可得|AB|＝10)． ◎结论形成 1．圆锥曲线的弦及弦长公式 (1)圆锥曲线的弦 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． (2)弦长公式 设直线l与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则求弦长|AB|的常用方法有： ①交点法：将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，求出两点A，B的坐标，利用两点间的距离公式得弦长，即 |AB|＝. ②公式法：在Δ>0的前提下，若直线l的斜率k存在，则 |AB|＝ ＝　|x2－x1|　 ＝　　， 当直线l的斜率存在且不为零时， |AB|＝ ＝|y2－y1| ＝　　； 若直线l的斜率不存在，则 |AB|＝|y1－y2|＝　　. 2．中点弦问题的解法 在直线与圆锥曲线有两个公共点的前提下，解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有两种： (1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解． (2)点差法：设出直线l与圆锥曲线C的交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入圆锥曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立弦的中点和直线的斜率的关系． [基础自测] 1．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析　由消去y，得3x2＋4x－2＝0. 设弦两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， 中点坐标为(x中，y中)，则x1＋x2＝－， 所以x中＝－.从而y中＝x中＋1＝－＋1＝， 所以中点坐标为. 答案　C 2．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B．2 C．6 D．4 解析　由双曲线方程知，右焦点为(2,0)，直线x＝2与渐近线y＝±x的交点A(2,2)，B(2，－2)，所以|AB|＝4. 答案　D 3．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m＝(　　) A．－1或1　 B．－或　　 C．　　 D． 解析　由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由题意，得＝， 解得m＝±1.故选A． 答案　A 4．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB中点的坐标为(2,2)，则直线l的方程为________． 解析　由题意知，抛物线C的方程为y2＝4x. 设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，把A，B两点的坐标代入抛物线方程得 由①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 又y1＋y2＝4，∴＝＝1. ∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x. 答案　y＝x 题型一　中点弦及弦长问题(一题多解) 　椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程． [自主解答]　解法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 而＝－1