15第二章 4.1 直线与圆锥曲线的交点（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－，又知船面露出水面上部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)． 所以水面涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航． §4　直线与圆锥曲线的位置关系 #4．1　直线与圆锥曲线的交点 学业标准 1．会求直线与圆锥曲线的交点．(重点) 2．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(重点、难点) [教材梳理] 导学　直线与圆锥曲线的交点 　(1)直线和圆的位置关系有几种？ (2)如何通过直线方程，圆锥曲线对应的方程探讨直线与圆锥曲线的交点？ [提示]　(1)三种：相交，相切，相离． (2)可以联立它们的方程， 通过方程的解的问题，来探讨直线与圆锥曲线的交点问题． ◎结论形成 直线与圆锥曲线的交点个数 通过平面直角坐标系，把圆锥曲线上的点和相应圆锥曲线方程的解建立了一一对应的关系．由此可知，直线与圆锥曲线的__交点个数__与两者对应方程的__公共解的个数__是相同的． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与椭圆公共点的个数最多有2个．(　　) (2)直线与抛物线相切，则直线与抛物线有唯一公共点．(　　) (3)直线与抛物线有唯一公共点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(　　) (4)直线与双曲线有唯一公共点，则直线与双曲线相切．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　 (4)× 2．直线y＝3x－1与椭圆＋＝1的公共点的个数是(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．无数个 解析　联立消去y得11x2－6x－7＝0 ∵Δ＝(－6)2－4×11×(－7)>0 ∴直线与椭圆有两个公共点，故选C． 答案　C 3．直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点，则实数k＝________. 解析　根据题意，直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1， 消去y整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，∵Δ＝0，∴k＝±；又注意到直线恒过点(0，－1)且渐近线的斜率为±1，与渐近线平行时也成立．故答案为：±或±1. 4．过点(0，－1)与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有________条． 解析　①当斜率不存在时，只有一个公共点顶点符合题意． ②当斜率存在时，设直线方程为y＝kx－1. 联立得k2x2－(1＋2k)x＋1＝0.○* 当k＝0时，方程○*有唯一实数解，符合题意． 当k≠0时，方程○*有唯一实数解⇔Δ＝0， 即(1＋2k)2－4k2＝0. 解得k＝－，符合题意， 综上共有3条直线． 答案　3 题型一　直线与椭圆的交点问题(一题多变) 　当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144. (1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点； (3)有两个公共点？ [自主解析]　由消去y得，9x2＋16(x＋m)2＝144， 化简整理得，25x2＋32mx＋16m2－144＝0， Δ＝(32m)2－4×25(16m2－144)＝－576m2＋14 400. (1)当Δ＝0时，得m＝±5，直线l与椭圆有且仅有一个公共点； (2)当Δ>0时，得－5<m<5，直线l与椭圆有两个公共点； (3)当Δ<0时，得m<－5或m>5，直线l与椭圆无公共点． [母题变式] (变条件、变结论)若本例将直线方程变为“l：y＝k(x－2)＋1”，则直线与椭圆公共点的个数为____________． 解析　直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)．又P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆有两个公共点． 答案　2 [规律方法] 直线与椭圆的位置关系的判断方法 把椭圆方程＋＝1(a>b>0)与直线方程y＝kx＋m联立消去y，整理成形如Ax2＋Bx＋C＝0的形式，对此一元二次方程有： (1)Δ>0，直线与椭圆有两个公共点，称直线与椭圆相交； (2)Δ＝0，直线与椭圆有唯一公共点，称直线与椭圆相切； (3)Δ<0，直线与椭圆无公共点，称直线与椭圆相离． 题型二　直线与双曲线的交点问题(一题多变) 　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． [自主解答]　由消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0，(*) 当1－k2＝0，即k＝±1，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5，故方程(*)有唯一实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点． 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2