专题十八 证明不等式之凸凹反转问题-2023届高考数学一轮复习导数解答题综合训练

专题十八 证明不等式之凸凹反转问题 1．已知f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣3 （1）对x∈（0，+∞），不等式2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围； （2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有． 2．已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1． （1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥时，f（x）≥0． 3．已知函数f（x）＝ax﹣lnx． （1）求f（x）的极值； （2）设，求证：g（x）≥1． 4．已知函数， （1）求函数f（x）的极小值 （2）求证：当﹣1≤a≤1时，f（x）＞g（x） 5．已知函数f（x）＝ax2﹣xlnx． （I）若f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求a的取值范围； （Ⅱ）若a＝e（e为自然对数的底数），证明：当x＞0时，f（x）＜xex+． 6．已知函数f（x）＝x2eax﹣1． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）当a＞e时，求证：f（x）＞lnx． 7．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣2． （1）若曲线f（x）＝xlnx在x＝1处的切线与函数g（x）＝﹣x2+ax﹣2也相切，求实数a的值； （2）求函数f（x）在上的最小值； （3）证明：对任意的x∈（0，+∞），都有成立． 8．已知函数f（x）＝aex﹣m，其中a，m∈R． （Ⅰ）当a＝m＝1时，设g（x）＝f（x）﹣lnx，求函数g（x）的单调区间； （Ⅱ）当a＝4，m＝2时，证明：f（x）＞x（1+lnx）． 9．已知函数f（x）＝（a+1）lnx+﹣x，g（x）＝alnx﹣f（x）+（a﹣1）x（其中a≥0） （1）讨论f（x）的单调性； （2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围； （3）设函数h（x）＝x（1﹣x+xg（x）），当a＝0时，证明：对∀x∈（0，+∞），恒有h（x）＜ex﹣1（1+e﹣2）成立． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十八 证明不等式之凸凹反转问题 1．已知f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣3 （1）对x∈（0，+∞），不等式2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围； （2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有． 【分析】（1）由已知得a≤2lnx+x+，设h（x）＝2lnx+x+（x＞0），则h′（x）＝，由此利用导数性