专题二十一 导数与数列不等式问题-2023届高考数学一轮复习导数解答题综合训练

专题二十一 导数与数列不等式问题 1．已知函数f（x）＝xln（1+x）﹣a（x+1）（x＞0），其中a为实常数． （1）若函数定义域内恒成立，求a的取值范围； （2）证明：当a＝0时，； （3）求证：． 2．证明：×××…×＜＜sin． 3．已知f（x）＝ex，g（x）＝x+1（e为自然对数的底数）． （1）求证：f（x）≥g（x）恒成立； （2）设m是正整数，对任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）＝ex，，（其中a∈R，e为自然对数的底数，e＝2.71828…）． （1）令h（x）＝f（x）+g′（x），若h（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值． 5．设函数f（x）＝2lnx+﹣kx． （Ⅰ）当|k|≥1时，判断函数f（x）的单调性； （Ⅱ）若对任意的正整数n都有ln2（1+1）+ln2（1+）+…+ln2（1+）＜m，求m的最小值． 6．已知函数． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a＝1时，证明： （i）xf（x）≤x﹣1； （ii）证明：． 7．已知二次函数f（x）满足f（x﹣2）＝f（﹣x），f（﹣1）＝1，f（0）＝2，g（x）＝ex． （1）求f（x）的解析式； （2）求证：x≥0时，2g（x）≥f（x）； （3）求证：． 8．定义：若在[k，+∞）上为增函数，则称f（x）为“k次比增函数”，其中k∈N*，已知f（x）＝eax．（其中e＝2.71238…） （Ⅰ）若f（x）是“1次比增函数”，求实数a的取值范围； （Ⅱ）当a＝时，求函数g（x）＝在[m，m+1]（m＞0）上的最小值； （Ⅲ）求证：． 9．已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1﹣xn≤； （Ⅲ）≤xn≤． 10．已知函数f（x）＝sin2xsin2x． （1）讨论f（x）在区间（0，π）的单调性； （2）证明：|f（x）|≤； （3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤． 11．已知函数f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax2+b（a，b∈R），若y＝g（x）在x＝1处的切线为y＝2x+1+f′