专题九 双变量之主元法的运用问题-2023届高考数学一轮复习导数解答题综合训练

专题九 双变量之主元法的运用问题 1．已知函数f（x）＝xlnx． （1）求函数f（x）的单调区间和最小值； （2）当b＞0时，求证：bb≥（）（其中e为自然对数的底数）； （3）若a＞0，b＞0求证：f（x）+（a+b）ln2≥f（a+b）﹣f（b）． 2．设函数f（x）＝xlnx． （Ⅰ） 求f（x）的极值； （Ⅱ）设g（x）＝f（x+1），若对任意的x≥0，都有g（x）≥mx成立，求实数m的取值范围； （Ⅲ）若0＜a＜b，证明：． 3．设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数． （1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值； （2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值； （3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤． 4．已知函数f（x）＝x3+klnx（k∈R），f'（x）为f（x）的导函数． （1）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）当k＝6时，求函数的单调区间和极值； （3）当k≥﹣3时，求证：对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有． 5．设函数f（x）＝lnx﹣x+1． （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x； （3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题九 双变量之主元法的运用问题 1．已知函数f（x）＝xlnx． （1）求函数f（x）的单调区间和最小值； （2）当b＞0时，求证：bb≥（）（其中e为自然对数的底数）； （3）若a＞0，b＞0求证：f（x）+（a+b）ln2≥f（a+b）﹣f（b）． 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系定理即可得出函数f（x）的单调区间、极小值，进而得到最小值； （2）由（1）知：当b＞0时，有f（b）≥f（x）mix＝f（）＝﹣，即可得出结论； （3）原不等式可化为：f（a）+f[（a+b）﹣a]≥f（a+b）﹣（a+b）ln2，设函数g（x）＝f（x）+f（k﹣x）（k＞0）．利用导数研究其单调性即可证明结论． 【解答】解：（1）∵f′（x）＝1+lnx （x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣（1分） 令f′（x）≥0得：lnx≥﹣1＝lne﹣1，