专题六 双变量之转化为单变量函数问题-2023届高考数学一轮复习导数解答题综合训练

专题六 双变量之转化为单变量函数问题 1．已知函数f（x）＝x2﹣2x+alnx（a＞0）． （Ⅰ）当a＝2时，试求函数图象在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1、x2（x1＜x2），且不等式f（x1）≥mx2恒成立，试求实数m的取值范围． 2．已知函数f（x）＝ex﹣a（x﹣1）． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）设a＞1，g（x）＝f（x）+），函数g（x）的唯一极小值点为x0，点A（x1，g（x1））和B（x2，g（x2））是曲线y＝g（x）上不同两点，且g（x1）＝g（x2），求证：x1•x2＜x02． 3．已知函数f（x）＝﹣x+alnx． （1）讨论f（x）的单调性； （2）已知，若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求的取值范围． 4．已知函数f（x）＝axlnx，a∈R． （1）当a＝1时， ①求f（x）的极值； ②若对任意的x≥e都有f（x）≥e，m＞0，求m的最大值； （2）若函数g（x）＝f（x）+x2有且只有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2． 5．设函数f（x）＝﹣e2x+（x﹣1）ex（a∈R）． （1）当a＝时，求g（x）＝f′（x）•e1﹣x的单调区间（f′（x）是f（x）的导数）； （2）若f（x）有两个极值点x1、x2（x1＜x2），证明：x1+2x2＞3． 6．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x2﹣ax（a＞0）． （1）讨论函数h（x）＝f（x）+g（x）的极值点； （2）若x1，x2（x1＜x2）是方程f（x）﹣+＝0的两个不同的正实根，证明：x12+x22＞4a． 7．已知a∈R，函数f（x）＝ex﹣ax+a． （Ⅰ）若f（x）≥0，求a的取值范围； （Ⅱ）记x1，x2（其中x1＜x2）为f（x）在（0，+∞）上的两个零点，证明：． 8．已知函数f（x）＝mex﹣ex2有两个不相等的极值点． （1）求实数m的取值范围； （2）设函数f（x）两个不相等的极值点分别为x1，x2，求证： （i）； （ii）x1+x2＞2x1x2． 9．已知函数f（x）＝alnx+x2+x． （1）若f（x）单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数F（x）＝f（x+1）﹣3x﹣2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：． 10．已知函数f（x）＝lnx+﹣a（a