专题十六 与三角函数结合之端点效应问题-2023届高考数学一轮复习导数解答题综合训练

专题十六 与三角函数结合之端点效应问题 1．已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx，x∈[0，] （1）求证：f（x）≤0； （2）若a＜＜b在x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值． 2．设函数f（x）＝ax+cosx， （1）讨论函数f（x）在区间[0，π]内的单调性； （2）若f（x）≤1+sinx对x∈[0，π]恒成立，求实数a的取值范围． 3．设函数． （Ⅰ）当a＝1时，求证：f（x）≥0； （Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的最小值． 4．已知函数f（x）＝x+sinx． （Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线方程； （Ⅱ）若不等式f（x）≥axcosx在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 5．已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）＝a（x﹣sinx）（a∈R且a≠0）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）设，若对任意x≥0，都有f（x）+g（x）≥0，求a的取值范围． 7．已知函数f（x）＝mtanx+2sin x，x∈[0，），m∈R． （Ⅰ）若函数y＝f（x）在x∈[0，）上是单调函数，求实数m的取值范围； （Ⅱ）当m＝1时， （i）求函数y＝f（x）在点x＝0处的切线方程； （ii）若对任意x∈[0，），不等式f（x）≥aln（x+1）恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十六 与三角函数结合之端点效应问题 1．已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx，x∈[0，] （1）求证：f（x）≤0； （2）若a＜＜b在x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值． 【分析】（1）求出f′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）＝﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）＝0． （2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”构造函数g（x）＝sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值． 【解答】解：（1）由f（x）＝xcosx﹣sinx得 f′（x）＝cosx﹣xsinx﹣c