专题十三 隐零点问题-2023届高考数学一轮复习导数解答题综合训练

专题十三 隐零点问题 1．设函数f（x）＝e2x﹣alnx． （Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数； （Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln． 2．已知函数f（x）＝ex﹣ln（x+m）． （Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明：f（x）＞0． 3．已知函数f（x）＝xex﹣a（x+lnx）． （1）若a＝0，求函数f（x）在x＝1处的切线方程； （2）讨论f（x）极值点的个数； （3）若x0是f（x）的一个极小值点，且f（x0）＞0，证明：． 4．已知函数f（x）＝aex+sinx+x，x∈[0，π]． （1）证明：当a＝﹣1时，函数f（x）有唯一的极大值点； （2）当﹣2＜a＜0时，证明：f（x）＜π． 5．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax的图象在x＝0处的切线方程是x+y+b＝0． （1）求a，b的值； （2）求证函数f（x）有唯一的极值点x0，且． 6．已知函数f（x）＝ex﹣t﹣lnx． （Ⅰ）若x＝1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）当t≤2时，证明：f（x）＞0． 7．已知函数f（x）＝（x﹣a）2lnx，a∈R． （1）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝0，求a； （2）若a∈（1，e），f（x）的极大值大于b，证明：＜2e． 8．已知函数f（x）＝ex+a﹣lnx（其中e＝2.71828…，是自然对数的底数）． （Ⅰ）当a＝0时，求函数图象在（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）求证：当时，f（x）＞e+1． 9．已知函数f（x）＝ax+xlnx（a∈R） （1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围； （2）当a＝1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值． 10．已知f（x）＝asinx，g（x）＝lnx，其中a∈R，y＝g﹣1（x）是y＝g（x）的反函数． （1）若0＜a≤1，证明：函数G（x）＝f（1﹣x）+g（x）在区间（0，1）上是增函数； （2）证明：sin＜ln2； （3）设F（x）＝g﹣1（x）﹣mx2﹣2（x+1）+b，若对任意的x＞0，m＜0有F（x）＞0恒成立，求满足条件的最小整数b的值． 11．设函数f（x）＝ex﹣ax﹣2． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值． 12．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣． （1）求f（x）的最大值； （2）若﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围． 13．已知函数f（x）＝xex﹣e（e是自然对数的底数）． （1）求函数f（x）的最小值； （2）若函数g（x）＝f（x）﹣klnx有且仅有两个不同的零点，求实数k的取值范围． 14．已知函数f（x）＝cosx﹣aex+x（a∈R）． （1）当a＝1时，证明：f（x）在区间（0，2π）上不存在零点； （2）若0＜a≤1，试讨论函数g（x）＝﹣a+cosx﹣f（x）的零点个数． 15．已知f（x）＝ln（x+1）﹣asinx，其中a为实数． （1）若f（x）在（﹣1，0）上单调递增，求a的取值范围； （2）当a＞1时，判断函数f（x）在（﹣1，π）上零点的个数，并给出证明． 16．已知函数f（x）＝aex﹣bx． （1）当a＝1时，求f（x）的极值； （2）当a≥1时，，求整数b的最大值． 17．已知函数f（x）＝e﹣x﹣ax（x∈R）． （Ⅰ）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最小值； （Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围； （Ⅲ）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十三 隐零点问题 1．设函数f（x）＝e2x﹣alnx． （Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数； （Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln． 【分析】（Ⅰ）先求导，在分类讨论，当a≤0时，当a＞0时，根据零点存在定理，即可求出； （Ⅱ）设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，根据函数f（x）的单调性得到函数的最小值f（x0），只要最小值大于2a+aln，问题得以证明． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝e2x﹣alnx的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）＝2e2x﹣． 当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f′（x）没有零点， 当a＞0时，∵y＝e2x为单调递增，y＝﹣单调递增， ∴f′（x）在（0，+∞）单调递增， 又f′（a）＞0， 假设存在b满足0＜b＜时，且b＜，f′（b）＜0， 故当a＞0时，导函数f′（x）存在唯一的零点， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0， 当x∈（0