专题十四 指对同构解决零点及恒成立问题-2023届高考数学一轮复习导数解答题综合训练

专题十四 指对同构解决零点及恒成立问题 1．已知函数，若函数f（x）在区间（0，+∞）内存在零点，求实数a的取值范围. 2．若对任意x＞0，恒有，求实数a的取值范围. 3．对任意x＞0，不等式2ae2x﹣lnx+lna≥0恒成立，求实数a的取值范围. 4．已知函数f（x）＝aex﹣ln（x+2）+lna﹣2， （1）若f（x）在x＝0处取得极值，求a的值及函数的单调区间． （2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分． ①若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围； ②若f（x）仅有两个零点，求a的取值范围． 5．已知． （1）若函数g（x）＝f（x）+xcosx﹣sinx﹣xlnx﹣1在上有1个零点，求实数a的取值范围． （2）若关于x的方程有两个不同的实数解，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）＝aex﹣ln（x+1）+lna﹣1． （1）若a＝1，求函数f（x）的极值； （2）若函数f（x）有且仅有两个零点，求a的取值范围． 7．已知函数f（x）＝e2x+a﹣lnx+． （1）若函数y＝f（x）在（0，）上单调递减，求a的取值范围； （2）若函数y＝f（x）在定义域内没有零点，求a的取值范围． 8．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣mx2（m∈R）． （1）选择下列两个条件之一：①；②m＝1；判断f（x）在区间（0，+∞）是否存在极小值点，并说明理由； （2）已知m＞0，设函数g（x）＝f（x）+mxln（mx）．若g（x）在区间（0，+∞）上存在零点，求实数m的取值范围． 9．已知函数f（x）＝ex﹣aln（ax﹣a）+a，（a＞0）． （Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）关于x的不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围． 10．已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1． （1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥时，f（x）≥0． 11．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）． （1）若y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，求a的值； （2）若f（x）≥1+x+lnx，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十四 指对同构解决零点及恒成立问题 1．已知函数，若函数f（x）在区间（0，+∞）内存在零点，求实数a的取值范围. 【分析】方法一：先对函数求导，得f′（x）＝（﹣a），再研究y＝﹣a，（x＞0，a＞0）单调性，然后对a分①当0＜a＜1时，②当a＝1时，③当a＞1时，进行讨论，求出a的范围． 方法二：构造同构函数，结合ex≥x+1即可得到答案． 【解答】解：方法一：由可得f′（x）＝（﹣a）， 设y＝﹣a，x＞0，a＞0，则y′＝，令y′＝0⇒x＝1，∴y在x∈（0，1）单调递减，在x∈（1，+∞）单调递增， 故ymin＝y（1）＝1﹣a． ①当0＜a＜1时，令f′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增， ∴f（x）min＝f（1）＝a﹣1﹣lna＞0，此时f（x）在区间（0，+∞）内无零点； ②当a＝1时，f（1）＝a﹣1﹣lna＝0，此时f（x）在区间（0，+∞）内有零点； ③当a＞1时，令f′（x）＝（﹣a）＝0，解得x＝x1或1或x2，且0＜x1＜1＜x2， 此时f（x）在x∈（0，x1）单减，x∈（x1，1）单增，x∈（1，x2）单减，x∈（x2，+∞）单增， 当x＝x1或x2时，f（x）极小值＝0，此时f（x）在区间（0，+∞）内有两个零点； 综合①②③知f（x）在区间（0，+∞）内有零点⇒a≥1． 方法二：由题意可得 e﹣x+1+ln（ax）＝ln（ax）﹣x+2，即e﹣x+1+ln（ax）﹣[﹣x+1+ln（ax）]﹣1＝0， 因为ex≥x+1当x＝0时等号成立， 所以﹣x+1+ln（ax）＝0，即ax＝ex﹣1， ，令，， 易知g（x）在（0，1）单减，在（1，+∞）上单增，所以g（x）≥g（1）＝1， 又x趋近于0和正无穷时，g（x）趋近于正无穷， 所以a≥1． 【点评】本题主要考查了导数在研究函数单调性与零点存在性问题中的应用，属于有一定难度的题，解决这一问题的关键点是对导函数的关系式的变形及对参数a的范围的讨论． 2．若对任意x＞0，恒有，求实数a的取值范围. 【分析】由已知可得（eax+1）lneax≥（x2+1）lnx2，结合结构特点构造函数f（t）＝（t+1）lnt（t＞0），结合导数可求单调性，原题转化为f（eax）≥f（x2）结合单调性转化后分离参数，二次构造函数后转化为求解函数的最值，结合导数可求． 【解答】解：由不等式，可得（eax+1）lneax≥（x2+1）lnx2， 设f（t）＝（t+1）lnt（t＞0