专题十五 与三角函数结合之零点问题-2023届高考数学一轮复习导数解答题综合训练

专题十五 与三角函数结合之零点问题 1．已知函数f（x）＝xsinx+cosx+ax2，x∈[﹣π，π]． （1）当a＝0时，求f（x）的单调区间； （2）当a＞0时，讨论f（x）的零点个数． 2．已知函数f（x）＝xcosx﹣ax+a，，（a≠0）． （Ⅰ）当a≥1时，求f（x）的单调区间； （Ⅱ）求证：f（x）有且仅有一个零点． 3．已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明： （1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点； （2）f（x）有且仅有2个零点． 4．已知函数f（x）＝xcosx+a，a∈R． （Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程f'（x）＝0（f'（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数F（x）＝xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围． 5．已知函数f（x）＝acosx+xsinx，． （Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求集合A＝{x|f（x）＝0}中元素的个数； （Ⅲ）当1＜a＜2时，问函数f（x）有多少个极值点？（只需写出结论） 6．已知函数f（x）＝aex﹣sinx+1，其中a∈R，e为自然对数的底数． （1）当a＝1时，证明：对∀x∈[0，+∞），f（x）≥2； （2）若函数f（x）在[0，π]上存在两个不同的零点，求实数a的取值范围． 7．已知函数f（x）＝exsinx（e是自然对数的底数）． （1）求f（x）的单调递减区间； （2）记g（x）＝f（x）﹣ax，若0＜a＜3，试讨论g（x）在（0，π）上的零点个数．（参考数据） 8．已知函数f（x）＝lnx+ax+sinx，其中x∈（0，π]； （1）判断函数f（x）是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由； （2）讨论在上函数f（x）的零点个数． 9．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1+sinx． （1）当a＝2时，证明：f（x）≥0； （2）当a≥1时，讨论函数f（x）的零点个数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十五 与三角函数结合之零点问题 1．已知函数f（x）＝xsinx+cosx+ax2，x∈[﹣π，π]． （1）当a＝0时，求f（x）的单调区间； （2）当a＞0时，讨论f（x）的零点