专题五 双变量之构造单调函数问题-2023届高考数学一轮复习导数解答题综合训练

专题五 双变量之构造单调函数问题 1．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中a∈R． （Ⅰ）函数f（x）的图象能否与x轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由； （Ⅱ）求最大的整数a，使得对任意x1∈R，x2∈（0，+∞），不等式f（x1+x2）﹣f（x1﹣x2）＞﹣2x2恒成立． 2．已知函数g（x）＝x﹣alnx． （1）讨论g（x）的单调性； （2）若a＞2，且f（x）＝﹣g（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：f（x1）﹣f（x2）＞（a﹣2）（x1﹣x2）． 3．已知函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围． 4．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2（a+1）ln x． （1）若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围； （2）证明：若﹣1＜a＜3，则对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有＞2． 5．已知函数在点（1，f（1））处的切线与直线y＝﹣4x+1平行． （1）求实数a的值及f（x）的极值； （2）若对任意x1，x2，有，求实数k的取值范围． 6．已知函数f（x）＝alnx+xb（a≠0）． （1）当b＝2时，若函数f（x）恰有一个零点，求实数a的取值范围； （2）当a+b＝0，b＞0时，对任意x1，x2∈[，e]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣2成立，求实数b的取值范围 7．已知函数f（x）＝|lnx﹣a|﹣2lnx+x，a≥2． （1）若a＝2，求f（x）的零点个数； （2）证明：∀x1，x2∈[3，9]，|f（x1）﹣f（x2）|≤2+ln3． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题五 双变量之构造单调函数问题 1．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中a∈R． （Ⅰ）函数f（x）的图象能否与x轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由； （Ⅱ）求最大的整数a，使得对任意x1∈R，x2∈（0，+∞），不等式f（x1+x2）﹣f（x1﹣x2）＞﹣2x2恒成立． 【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，假设函数f（x）的图象与x轴相切于点（t，0），则有，联立得到关于t的一元二次方程，由判别式小于0可知无论a取何值，函数f（x）的图象都不能与x轴相切； （