4.2.3 等差数列的前n项和（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修1【精讲精练】苏教版

#4．2.2　等差数列的性质 学习目标 1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点)． 2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点). [教材梳理] 导学1 等差数列的图象 　由an＝a1＋(n－1)d可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？ [提示]　等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝. ◎结论形成 等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 导学2 等差数列的性质 　若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？ [提示]　不一定．如常数列{an},1＋2＝3， 而a1＋a2＝2a3. ◎结论形成 等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． (5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(　　) (2)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列．(　　) (3)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列．(　　) (4)若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N*.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　 (4)√ 2．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　) A．a1＋a101>0　　　　　 B．a2＋a101<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51 解析　∵a1＋a2＋…＋a101＝0， 又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0. 答案　C 3．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________. 解析　由a2＋a8＝a4＋a6，得a6＝－1. 答案　－1 题型一　等差数列的性质 　 (1)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________. 解析　法一　设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2) ＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21， 所以d1＋d2＝7， 所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35. 法二　∵数列{an}，{bn}都是等差数列， ∴数列{an＋bn}也构成等差数列， ∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， ∴2×21＝7＋a5＋b5， ∴a5＋b5＝35. 答案　35 (2)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8的值． 解析　∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 由等差数列的性质知a3＋a7＝a4＋a6＝2a5. ∴5a5＝450.∴a5＝90. ∴a2＋a8＝2a5＝180. [规律方法] 1．利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示． 2．本题的求解主要用到了等差数列的以下性质： 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. 对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11. [触类旁通] 若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0