4.1 数列（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修1【精讲精练】苏教版

#3．3.2　抛物线的几何性质 学习目标 1.掌握抛物线的几何性质．(重点) 2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点) 3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) [教材梳理] 导学 抛物线的几何性质 　抛物线有几个焦点？ [提示]　一个焦点． 　有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？ [提示]　不对． 　抛物线y2＝2px有对称性吗？ [提示]　有，关于x轴对称． ◎结论形成 1．抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性 质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 2.通径 通过抛物线的焦点且垂直于x轴的直线与抛物线交于点M1，M2.线段M1M2叫作抛物线的通径，它的长为2p. 3. 焦点弦 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，AF＝x1＋，BF＝x2＋，故AB＝x1＋x2＋p. 4．直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. ①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点； ②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是无中心的圆锥曲线．(　　) (2)抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p.(　　) (3)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝16y　　　　　 B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 解析　顶点到准线的距离为，则＝4.解得p＝8，又因对称轴为y轴，则抛物线方程为x2＝±16y. 答案　D 3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则AB＝(　　) A．10　　　 B．8　　　　 C．6　　　 D．4 解析　|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 答案　B 题型一 　抛物线的性质及方程 　已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上不同的两点，O为坐标原点，若OA＝OB，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程． 解析　如图所示．设A(x0，y0)， 由题意可知B(x0，－y0)， 又F是△AOB的垂心， 则AF⊥OB， ∴kAF·kOB＝－1， 即·＝－1， ∴y＝x0，又y＝2px0， ∴x0＝2p＋＝. 因此直线AB的方程为x＝. [规律方法]　根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论． [触类旁通] 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 解析　由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，则 焦点F，直线l：x＝， ∴A，B两点坐标分别为，， ∴AB＝2|p|. ∵△OAB的面积为4， ∴··2|p|＝4，∴p＝±2. ∴抛物线方程为y2＝±4x. 题型二　直线与抛物线的位置关系 　若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB. 证明　由消去y，得x2－12x＋16＝0. ∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B， ∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16. ∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴⊥，即OA⊥OB. [规律方法]　将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解． [触类旁通] 过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程． 解