3.3 抛物线（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修1【精讲精练】苏教版

#　抛物线 3．3.1　抛物线的标准方程 学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点) 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点) 3．明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点) [教材梳理] 导学1 抛物线的定义 如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线． 　DA是点D到直线EF的距离吗？为什么？ [提示]　是．AB是直角三角形的一条直角边． 　点D在移动过程中，满足什么条件？ [提示]　DA＝DC. 　画出的曲线是什么形状？ [提示]　抛物线． ◎结论形成 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线．定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线． 导学2 抛物线的标准方程 平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－2,0)；l1：x＝－1，l2：x＝2. 　到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹是什么？对应方程是什么？ [提示]　抛物线；y2＝4x. 　到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？ [提示]　y2＝－8x. ◎结论形成 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) F x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝ x2＝2py(p>0) F y＝－ x2＝－2py(p>0) F y＝ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．(　　) (2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．(　　) (3)若点P到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．准线为x＝1的抛物线的标准方程为________． 解析　由题知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，＝1，即p＝2，故抛物线的方程y2＝－4x. 答案　　y2＝－4x 3．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________． 解析　椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(2,0)，则p＝4. 答案　4 题型一　求抛物线的标准方程 　求适合下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点M(－6,6)； (2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上． 解析　(1)由于点M(－6,6)在第二象限， ∴过M的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x轴上， 设其方程为y2＝－2px(p＞0)， 将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)， ∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x. 若抛物线开口向上，焦点在y轴上， 设其方程为x2＝2py(p＞0)， 将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3， ∴抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y. (2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F(2,0)， ∴＝2，∴p＝4， ∴抛物线的标准方程是y2＝8x. ②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F(0，－3)， ∴＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程是x2＝－12y. 综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y. [规律方法] 求抛物线标准方程的关键与方法 (1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数． (2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程； ②直接根据定义求p，最后写标准方程； ③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数． [触类旁通] 根据下列条件写出抛物线的标准方程． (1)准线方程为y＝－1； (2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3. 解析　(1)由准线方程为y＝－1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且＝1，则p＝2.故抛物线的标准方程为x2＝4y. (2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)， 则焦点坐标为，准线为x＝－， 则焦点到准线的距离是－＝p＝3， 因此所求的抛物线的标准方程是y2＝6x. 题型二　抛物线的定义及应用 　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝x0，则x0＝(　　) A．1　　　 B．2　　　　 C．4　　　 D．8 解析　由题意知抛物