3.2.1 双曲线的标准方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修1【精讲精练】苏教版

#　双曲线 3．2.1　双曲线的标准方程 学习目标 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) [教材梳理] 导学1 双曲线的定义 　平面内，动点P到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为12，动点P的轨迹是什么？ [提示]　椭圆． 　平面内，动点P到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P的轨迹还是椭圆吗？是什么？ [提示]　不是，是双曲线． ◎结论形成 文字语言 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹． 符号语言 |PF1－PF2|＝常数(0＜常数＜F1F2) 焦点 两个定点F1，F2 焦距 两个焦点间的距离 导学2 双曲线的标准方程 　“导学1”的问题2中，动点P的轨迹方程是什么？ [提示]　－＝1. 　平面内，动点P到两定点F1(0,5)，F2(0，－5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P的轨迹方程是什么？ [提示]　－＝1. ◎结论形成 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　　) (3)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．已知双曲线的焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，双曲线上一点P满足|PF1－PF2|＝2，则双曲线的标准方程是________． 解析　由题知c＝4，a＝1，故b2＝15，所以双曲线的标准方程为x2－＝1. 答案　　x2－＝1 3．已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________． 解析　椭圆方程为＋＝1，c2＝a2－b2＝36－24＝12， ∴焦点F1(－2，0)，F2(2，0)． ∵双曲线－＝1与椭圆有相同焦点，∴2m＝12， ∴m＝6. 答案　6 题型一　求双曲线的标准方程 　求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝4，经过点A； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)． 解析　 (1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)， 把A点的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)， 把A点的坐标代入，得b2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. [规律方法] 1.双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． [触类旁通] 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)； (2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上． 解析　(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)， 故可设双曲线的方程为－＝1. 由题意，知解得故双曲线的方程为－＝1. (2)∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)． ∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是－y2＝1. 题型二　双曲线的定义及应用　一题多变 　 (1)△ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B．± C．－ D．± 解析　在△ABC中，sin A＝，sin B＝， sin C＝＝(其中R为△ABC外接圆的半径)． ∴＝＝. 又∵BC－AC＝±8，∴＝±＝±. 答案　D (2)已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左，右焦点，若P是双曲线左支上的点，且PF1·