3.1.1 椭圆的标准方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修1【精讲精练】苏教版

#　椭 圆 3．1.1　椭圆的标准方程 学习目标 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) [教材梳理] 导学1 椭圆的定义 取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖． 　若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？ [提示]　线段F1F2. 　若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？ [提示]　不是线段，是椭圆． ◎结论形成 把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距． 导学2 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(　　) (3)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　　) (4)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√ 2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　由条件知，焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，所以b2＝a2－c2＝36， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 答案　C　 3．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________． 解析　由a2＞a＋6＞0，得a＞3或－6＜a＜－2. 答案　(－6，－2)∪(3，＋∞)　 题型一　求椭圆的标准方程 　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. 解析　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以 解得 所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，即a＝， 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 依题意，有解得 由a>b>0，知不合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 依题意，有 解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 则解得 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 故椭圆的标准方程为＋＝1. [规律方法] 用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 　(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． [触类旁通] 　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)经过两点(2，－)，； (2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点． 解析　(1)法一(分类讨论法)　若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知条件得解得 则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二(待定系数法)　设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 将两点(2，－)，代入，得 解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① 又点(，－)在椭