1.5.1 平面上两点间的距离（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修1【精讲精练】苏教版

#1．5.1　平面上两点间的距离 学习目标 1.了解平面上两点间的距离公式的推导方法．(重点) 2．掌握平面上两点间的距离公式，中点坐标公式及其应用．(难点) 3．初步掌握用坐标法研究几何问题．(重点、难点) [教材梳理] 导学 平面上两点间的距离 　如何求A，B两点间的距离？ [提示]　AB＝|xA－xB|. 　在平面直角坐标系中能否用数轴上两点间距离求出任意两点间距离？ [提示]　可以，构造直角三角形利用勾股定理求解． ◎结论形成 1．两点间的距离 (1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． (2)结论：P1P2＝. 2．中点坐标公式 一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)， 则 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.(　　) (2)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．(　　) (3)点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当直线平行于坐标轴时P1P2＝|x1－x2|.(　　) 答案　(1) ×　(2) ×　(3)×　 2．已知M(2,1)，N(－1,5)，则MN＝(　　) A．5　　　 B.　　　 C.　　 D．4 解析　MN＝＝5. 答案　A 3．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则PQ(　　) A．4　 　 B．4　　　 C．2　 　 D．2 解析　∵P(1,1)，Q(5,5)，∴PQ＝＝4. 答案　B 题型一　两点的距离 　(1)已知点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且PQ＝PM，则a的值是(　　) A．－2　 B．2　　 C．－　　 D. 解析　因为点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且PQ＝PM， 所以＝，解得a＝－. 答案　C (2)已知A(－c,0)，B(c,0)，直线x＋y＝1上存在唯一点P，使得PA＝PB，则c的值为(　　) A．－1　　　　　　　 B．－1或 C．1或－ D．－ 解析　设P，由PA＝PB得， ＝×， 整理得3x－2x0＋2c2＋1＝0， 因为直线x＋y＝1上存在唯一点P，所以整理后的方程只有一个解， 即Δ＝42－12＝0，解得c＝－1或c＝. 答案　B [规律方法]　计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． [触类旁通] 1．以点A，B，C为顶点的三角形是(　　) A．等边三角形　　　　 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 解析　由已知可得AB＝＝2，AC＝＝2， BC＝＝4， 所以，AB2＝AC2＋BC2. 因此，△ABC为直角三角形． 答案　D 2．设A(3,4)，在x轴上有一点P(x,0)，使得PA＝5，则x＝(　　) A．0　　 B．6　　　 C．0或6　　 D．0或－6 解析　由PA＝5，得＝5，即(3－x)2＋(4－0)2＝25， 化简为x2－6x＝0，解得x＝6或x＝0. 答案　C 题型二　中点坐标公式及应用 　△ABC的两个顶点为B(2,1)，C(－2,3)，求BC边的垂直平分线的方程． 解析　因为B(2,1)，C(－2,3)，所以kBC＝＝－，线段BC的中点坐标是，即(0,2)，所以BC边的垂直平分线方程是y－2＝2(x－0)，整理得2x－y＋2＝0. [规律方法] 求线段的垂直平分线方程，要从两个方面思考，一是垂直，就是线段所在的直线与所求垂直平分线斜率之积等于－1，二是平分，即直线过线段的中点． [触类旁通] 若△ABC的顶点A(－5,0)，B(3，－2)，C(1,2)，则经过AB，BC两边中点的直线方程为(　　) A．3x－y－2＝0 B．x－3y－4＝0 C．x－3y－2＝0 D．3x－y－4＝0 解析　由题意，可得线段AB的中点为(－1，－1)，线段BC的中点为(2,0)．因此所求直线方程为＝，即x－3y－2＝0. 答案　C　 题型三　利用坐标法解决平面几何问题 一题多变 　 已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD. 求证：AC＝BD. 证明　如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)． ∴AC＝＝， BD＝＝. 故AC＝BD. [母题变式] (变条件)把本例的条件改为：在△ABC中，AD是BC边上的中线， 求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2)． 证明　设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)． 因为AB2＝