1.4 两条直线的交点（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修1【精讲精练】苏教版

#　两条直线的交点 学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点) [教材梳理] 导学 两条直线的交点 已知二元一次方程组 　二元一次方程组的解法有哪些？ [提示]　代入消元法、加减消元法． 　在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？ [提示]　两直线的公共部分，即交点． 　若给出两直线y＝x＋1与y＝3x－2，如何求其交点坐标？ [提示]　联立解方程组求方程组的解即可得． ◎结论形成 直线的交点与直线的方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点个数 一个 无数个 零个 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交．(　　) (2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交．(　　) (3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线．(　　) (4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－A2B1≠0.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是(　　) A．(－9，－10)　　　　　　　 B．(－9,10) C．(9,10) D．(9，－10) 解析　解方程组得故两直线的交点坐标为(－9,10)． 答案　B 3．(多选)下列各组直线中，两直线相交的是(　　) A．y＝x＋2和y＝1 B．x－y＋1＝0和y＝x＋5 C．x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0 D．2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0 解析　A中两直线显然相交；B中两直线平行；C中直线x＋my－1＝0过点(1,0)，直线x＋2y－1＝0过点(1,0)，故两直线相交；D中两直线平行． 答案　AC 题型一　两直线的交点问题 　 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解析　法一　 (1)解方程组得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 法二　(1)∵kl1＝2，kl2＝－，kl1≠kl2，∴l1与l2相交， 由得 故l1与l2的交点为(3，－1)． (2)由＝＝，知l1与l2重合． (3)l2方程为2x＋y－3＝0，由＝≠，知两直线l1与l2平行． [规律方法]　 两条直线相交的判定方法 方法一　联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二　两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三　两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [触类旁通] 若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析　联立两直线方程得： 得 所以两直线的交点坐标为， 因为两直线的交点在第一象限， 所以 解得即k＞，设直线l的倾斜角为θ， 则tan θ＞，所以θ∈，故选D. 答案　D 题型二　直线恒过定点问题 　不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________． 解析　法一　取m＝1，得直线y＝－4. 取m＝，得直线x＝9. 故两直线的交点为(9，－4)， 下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过点(9，－4)．将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝(m－1)×9－4×(2m－1)＝m－5＝右边，故直线恒过定点(9，－4)． 法二　直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，∵对任意m该方程恒成立， ∴解得故直线恒过定点(9，－4)． 答案　(9，－4) [规律方法]　 解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示直线必过定点(x0，y0)． [触类旁通] 无论m取何值，直线(3m＋1)x＋(4m＋1)y－12m－1＝0都恒过一个定点，则