第2篇 第4节 幂函数与二次函数 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第4节　幂函数与二次函数 考纲展示 1.了解幂函数的概念. 2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图像,了解它们的变化情况. 3.理解并掌握二次函数的定义、图像及性质. 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如 y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数. (2)常见的五种幂函数的图像 在直线x=1右侧,由下向上,幂函数的指数逐渐增大. (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当α>0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ③当α<0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图像与性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图像 (抛物线) 定义域 R 值域 [,+∞) (-∞,] 对称轴 直线x=- 顶点 坐标 (-,) 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在(-∞,-]上是减函数; 在[-,+∞)上是增函数 在(-∞,-]上是增函数; 在[-,+∞)上是减函数 (1)若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时恒有f(x)>0,当时,恒有f(x)<0. (2)对于形如f(x)=(其中m∈N*,n∈Z,m与n互质)的幂函数 ①当n为偶数时,f(x)为偶函数,图像关于y轴对称; ②当m,n都为奇数时,f(x)为奇函数,图像关于原点对称; ③当m为偶数时, x>0(或x≥0),f(x)是非奇非偶函数,图像只在第一象限(或第一象限及原点处). (3)函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(x1)=f(x2),则函数f(x)图像关于直线x=对称,即f(+x)=f(-x). 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈R为偶函数的充要条件为b=0.(　　) (2)幂函数在(0,+∞)上都有意义,幂函数的图像都经过定点(1,1).(　　) (3)幂函数的图像都不经过第四象限.(　　) (4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是.(　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2.已知二次函数f(x)=x2-2ax+1在区间(2,3)上是单调函数,则实数a的取值范围为(　A　) A.a≤2或a≥3 B.2≤a≤3 C.a≤-3或a≥-2 D.-3≤a≤-2 解析:对称轴方程为x=a,所以a≤2或a≥3.故选A. 3.已知P(a,m)和Q(b,m)是二次函数y=2x2+4x-3上的两个不同点,则a+b等于(　C　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析:由题意知,PQ两点关于对称轴x=-1对称,所以PQ的中点坐标为(-1,m), 所以=-1,即a+b=-2.故选C. 4.已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点(,),则k+α等于(　C　) A. B.1 C. D.2 解析:由幂函数的定义知, 所以k=1,α=,所以k+α=.故选C. 5.已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,),则此函数的解析式为　　　　.  解析:设所求函数解析式为y=f(x)=xα,因为图像过点(2,),代入解析式得α=-, 则f(x)=. 答案:f(x)= 考点一　幂函数的图像与性质 1.已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,),则f(log216)等于(　　) A.2 B. C. D. 解析:设f(x)=xα,则2α=,所以α=,所以f(x)=,f(log216)=f(4)==2.故选A. 2.若幂函数y=(m2-9m+19)x2m-7的图像不过原点,则(　　) A.m< B.m=3 C.m=3或m=6 D.m不存在 解析:由题意知解得m=3.故选B. 3.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·(n∈Z)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为(　　) A.-3 B.1 C.2 D.1或-3 解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3. 当n=1时,函数f(x)=x-2为偶函数,其图像关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以n=1满足题意;当n=-3时,函数f(x)=x18为偶函数,其图像关于y轴对称,而f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以n=-3不满足题意,舍去.故选B