第2篇 第3节 函数的奇偶性与周期性 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 考纲展示 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图像特点 偶函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件: ①T≠0; ②f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫作它的最小正周期. (3)若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x). (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有意义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. ②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). ③奇偶函数定义域关于原点对称. (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: ①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). ②若f(x+a)=,则T=2a(a>0). ③若f(x+a)=-,则T=2a(a>0). ④若f(x)图像关于直线x=a与x=b对称,则T=2|b-a|. ⑤若f(x)图像关于点(a,0)与(b,0)对称,则T=2|b-a|. ⑥若f(x)图像关于点(a,0)对称,且关于直线x=b对称,则T=4|b-a|. (4)函数图像对称性的三个结论 ①若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称. ②若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图像关于直线x=a对称. ③若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称. (5)奇偶函数的运算性质 在公共定义域内,奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇,奇÷奇=偶,偶÷偶=偶,奇÷偶=奇,偶÷奇=奇. 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=x2在x∈(0,+∞)时是偶函数.(　　) (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.(　　) (3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.(　　) (4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称.(　　) 解析:(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,(1)错. (2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,(2)错. (3)由周期函数的定义,(3)正确. (4)由于y=f(x+b)的图像关于点(0,0)中心对称,根据图像平移变换,知y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称,正确. 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(2021·上海卷)下列函数中,既是奇函数,又是减函数的是(　A　) A.y=-3x B.y=x3 C.y=log3x D.y=3x 解析:y=-3x是奇函数又是减函数,A正确; y=x3是奇函数又是增函数,B错; y=log3x定义域为(0,+∞),是非奇非偶函数,在(0,+∞)单调递增,C错; y=3x是非奇非偶函数,在(-∞,+∞)单调递增,D错.故选A. 3.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)等于(　D　) A.e-x-1 B.e-x+1 C.-e-x-1 D.-e-x+1 解析:因为f(x)是奇函数, 所以当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x), 得f(x)=-e-x+1.故选D. 4.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f()=　　　　.  解析:f()=f(-)=-4×(-)2+2=1. 答案:1 考点一　函数的奇偶性 1.已知函数f(x)=,g(x)=,则下列结论正确的是(　　) A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数 B.h(x)=f(x)+g(x)是奇函数 C.h(x)=f(x)g(x)是奇函数 D.h(x)=f(x)g(x)是偶函数 解析:因为h(x)=f(x)+